Amazon.com Widgets

  ספרים חדשים - אתר טקסט    ⚞  שנת 2006  ⚟

 | 2020 | 2019 | 2018 | 2017 | 2016 | 2015 | 2014 | 2013 | 2012 | 2011 | 2010 | 2009 | 2008 | 2007 | שנת 2006 | 2005 | 

|  אוגוסט 2019 |  יולי 2019 |  יוני 2019 |  מאי 2019 |  אפריל 2019 |  מרץ 2019 |  פברואר 2019 |  ינואר 2019  |  דצמבר 2018 |  נובמבר 2018  |  אוקטובר 2018 |  ספטמבר 2018 |

» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005
» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005
» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005
» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005
» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005
» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005
» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005
» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005
» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005
» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005
» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005
» פרויקט נחום גוטמן
» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005
» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005
» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005


גודל אות רגילגודל אות גדול יותרגודל אות גדול מאוד

| כולם | ספרים בחודשים |
| אודות טקסט | יצירת קשר |
פרטיות בטקסט

ספרים חדשים בפורמט RSS


» טקסט  » עיון חברה ובקורת  » ספרים חדשים באפריל 2006       חזור

שפת הסימטריה - המשוואה שלא נמצא לה פתרון
מאת: מריו ליביו
The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry - Mario Livio

ההוצאה:

אריה ניר

מה משותף למוסיקה של יוהן סבסטיאן באך, לכוחות היסוד של הטבע, לקובייה ההונגרית ולבחירת בני-זוג? את כולם מאפיינים סוגים מסוימים של סימטריה. סימטריה היא הגשר בין מדע ואמנות, בין הפיסיקה התיאורטית לעולם היומיומי שאנו רואים סביבנו. אבל ה"שפה" של הסימטריה - תורת החבורות המתימטית - נבעה ממקור בלתי-צפוי לחלוטין: ממשוואה שלא נמצא לה פתרון.

במשך אלפי שנים התקדמו המתימטיקאים ופתרו משוואות אלגבריות יותר ויותר מסובכות, עד שהגיעו אל המשוואה מהמעלה החמישית - וזו עמדה בפני כל הניסיונות לפותרה, במשך מאות שנים, עד שהופיעו שני מתימטיקאים מופלאים וגילו (בנפרד) כי אי-אפשר לפתור אותה בשיטות הרגילות.

שפת הסימטריה - המשוואה שלא נמצא לה פתרון
שתפו אותי

כך נפתחה הדרך לתורת החבורות. שני הגאונים הצעירים הללו, נילס הנריק אַבֶּל הנורווגי ואֶוָואריסט גָלוּאָה הצרפתי, מצאו את מותם בנסיבות טרגיות. למעשה, בלילה שלפני הדו-קרב אשר הביא עליו את מותו (בגיל עשרים) עסק גלואה בכתיבת סיכום קצר של ההוכחה שלו, ובשלב מסוים רשם בשולי פנקסו, "אין לי זמן."

סיפור המשוואה שלא נמצא לה פתרון הוא גם סיפור חייהם של מתימטיקאים מבריקים, וגם תיאור מרתק של יכולתה של המתימטיקה לשפוך אור על תחומים רבים ושונים. בספרו החדש והתוסס מראה פרופסור מריו ליביו, בדרך שכל אדם יכול להבינה, כיצד מסבירה תורת החבורות את הסימטריה ואת הסדר בעולם הטבע ובעולם האדם.

פרופסור מריו ליביו הוא אסטרונום בכיר, שעמד בעבר בראש החטיבה המדעית של המכון למדעי טלסקופּ החלל (STScI), הגוף המנהל את התוכנית המדעית של טלסקופּ החלל האבּל. הוא קיבל תואר דוקטור לאסטרופיסיקה תיאורטית מאוניברסיטת תל-אביב, וכיהן כפרופסור לפיסיקה בטכניון מ-1881 עד 1991, שאז הצטרף לסגל STScI. פרופסור ליביו פרסם יותר מ-400 מאמרים מדעיים וזכה בפרסים רבים על מחקריו ועל הצטיינותו בהוראה. בין ספריו הפופולריים: חיתוך הזהב, ספר עטור שבחים על מתימטיקה ואמנות, שזיכה אותו בפרס פיתגורס הבינלאומי ובפרס פיאנו, והיקום המואץ.

שפת הסימטריה מאת מריו ליביו, בהוצאת אריה ניר, עורכת הסדרה: רחל הלוי,
מאנגלית: עמנואל לוטם, עיצוב עטיפה: אורנה בן שושן, 384 עמודים.,

באדיבות הוצאת אריה ניר
טעימה מהפרק הראשון

פרק ראשון
סימטריה

כתם דיו על פיסת נייר אינו מושך את העין במיוחד, אבל אם קיפלתם את הנייר לפני שיבשה הדיו, אולי קיבלתם משהו דומה לציור מס' 1, וזה כבר הרבה יותר מעניין. למעשה, הפרשנות שנותנים אנשים שונים לכתמי דיו דומים לזה היא הבסיס למבחן רוֹרשָך המפורסם, שפיתח הפסיכיאטר השווייצרי הרמן רורשך בשנות העשרים של המאה העשרים. מטרתו המוצהרת של המבחן היא לחשוף איכשהו את הפחדים הנסתרים, את הפנטסיות הפרועות ואת המחשבות העמוקות של המפרשׁים את הצורות חסרות המשמעות הללו. אבל ערכו הממשי של המבדק כ"צילום רנטגן של הנפש" שנוי במחלוקת חריפה בחוגי הפסיכולוגים. כדברי סקוט ליליינפלד, פסיכולוג באוניברסיטת אמורי: "בנפשו של מי מדובר, נפש הנבדק או נפש הבודק?" ובכל זאת, אין להכחיש כי תמונות מעין זו שבציור מס' 1 קוסמות לנו בדרך כלשהי, מרתקות אותנו ומטביעות בנו רושם. מדוע?

האם זה מפני שגוף האדם, וכמוהו גופם של רוב בעלי־החיים, וכן רבים מהחפצים מעשה ידי אדם, מחוננים בסימטריה דו־צדדית דומה? ומדוע בכלל צריכים גם המבנים הזואולוגיים הללו וגם פירות יצירתו של דמיון האדם, להיות מחוננים בסימטריה כזו מלכתחילה?

רוב הבריות יראו קומפוזיציות הרמוניות כמו הולדת ונוס של בוטיצ'לי (ציור מס' 2) כסימטריות. ההיסטוריון של האמנות ארנסט ה' גוֹמבּריץ' אפילו ציין כי "החירות שנטל לעצמו בוטיצ'לי בהתייחסותו לטבע, על־מנת להשיג קווי מִתאר חינניים, מוסיפה ליופיו של העיצוב ולהרמוניה שלו." אבל המתימטיקאים יאמרו לכם כי תצורות הצבעים והדמויות בציור אינן סימטריות כלל ועיקר, במובנה המתימטי של מילה זו. והיפוכו של דבר, רוב המשקיפים שאינם מתימטיקאים לא יראו את הדוגמה בציור מס' 3 כסימטרית, אף־על־פי שהיא דווקא סימטרית לפי הגדרתה המתימטית הפורמלית של המילה.

אם כן, מהי סימטריה, בעצם? איזה תפקיד היא ממלאת, אם בכלל, בתפיסתנו? מהי הזיקה בינה לבין רגישותנו האסתטית? בתחום המדע, מדוע נעשתה הסימטריה מושג כה מרכזי ברעיונותינו על הקוסמוס הסובב אותנו, ובתיאוריות הבסיסיות שבאמצעותן אנו מנסים להסביר אותו? הואיל והסימטריה חובקת מספר כה גדול של תחומים שונים, מה הם ה"שפה" וה"דקדוק" המשמשים אותנו לתיאורן של סימטריות, לאִפיוּנן ולהצגת תכונותיהן, וכיצד הומצאה השפה האוניברסלית הזאת? ובנימה קלילה יותר, האם יכולה הסימטריה לתת תשובה לשאלה החשובה כל־כך שהציג כוכב הרוק רוד סטיוארט בכותרתו של אחד משיריו, "את חושבת שאני סקסי?"

יש בדעתי לנסות ולענות, לפחות חלקית, על כל השאלות האלה ועוד על רבות אחרות. תוך־כדי־כך, אני מקווה שהסיפור בכללותו יציג גם את הפן ההומניסטי של המתימטיקה וגם, מה שחשוב עוד יותר, את הפן האנושי של המתימטיקאים. כפי שעוד נראה, הסימטריה היא הכלי הראשון במעלה לגישור על הפער בין מדע ואמנות, בין פסיכולוגיה ומתימטיקה. היא מצויה בחפצים וברעיונות שמשתרעים בין השטיחים הפרסיים לבין מולקולות החיים, מהקפלה הסיסטינית ועד "התיאוריה של הכול" המיוחלת. אבל תורת החבורות, שהיא השפה המתימטית המתארת את מהותן של סימטריות והחוקרת את תכונותיהן, כלל לא צמחה מתוך חקר הסימטריה. תחת זאת, הרעיון המדהים הזה, המשליט אחדוּת כה רבה במחשבה המודרנית, נבע ממקור בלתי־צפוי לחלוטין - ממשוואה שלא נמצא לה פתרון. סיפורה הנפתל והדרמתי של המשוואה הזאת הוא חוט השני של הסאגה האינטלקטואלית המסוּפרת כאן. בה בעת, הסיפור הזה ישפוך אור על בדידותו של הגאון ועל עמידתו העיקשת של האינטלקט האנושי לנוכח אתגרים שאין כל דרך, לכאורה, להתגבר עליהם. השקעתי מאמץ כביר בניסיון לפתור תעלומה בת מאתיים שנה, השאלה כיצד פקד המוות את גיבורו של הסיפור הזה - את המתימטיקאי המבריק אוואריסט גלואה. ואני משוכנע שהתקרבתי אל האמת יותר מכפי שהתקרבו אליה אחרים לפני.

המחזאי השנון ג'ורג' ברנרד שו אמר, "האדם הסָביר מסגל את עצמו לעולם; האדם הבלתי־סביר מתמיד בניסיונותיו לסגל את העולם לעצמו. לכן, כל הקִדמה תלויה באדם הבלתי־סביר." בספר זה אנו עתידים לפגוש באנשים בלתי־סבירים רבים, גברים כנשים. התהליך היצירתי, מטבע ברייתו, מתנהל בארצות לא־נודעות של האינטלקט והרגש. גיחות קצרות אל תוך ההפשטה המתימטית יאפשרו לנו להציץ בעצם טבעה של היצירתיות, ואפתח בסיור קצר בארץ הפלאות של הסימטריה.

חסינות מפני שינויים
למילה סימטריה שורשים עמוקים; היא באה מן היוונית, שם מציינות המילים סים ומטריה את "אותה המידה". כאשר תיארו היוונים יצירה של אמנות או של אדריכלות כסימטרית, הם התכוונו לומר שאדם יכול לזהות חלק קטן כלשהו של היצירה באופן כזה שממדיהם של כל שאר החלקים יכילו כפולות מדויקות של החלק הזה (החלקים הם "בעלי מידה שווה"). ההגדרה הקדומה הזאת הולמת יותר את מושג הפרופורציה המקובל עלינו כיום, מאשר את מושג הסימטריה שלנו.

אבל הפילוסופים הדגולים אפלטון (427/428-347/348 לפנה"ס) ואריסטו (384-322 לפנה"ס) מצאו זיקה הדוקה בין סימטריה ויופי. כדברי אריסטו, "צורותיו הראשיות של היופי הן עריכה סדורה [ביוונית טַקסיס], פרופורציה [סימטריה] ומסוימות [הוֹריסמֶנוֹן], והן מתגלות במיוחד מכוח המתימטיקה." בעקבות היוונים, זיהוי הסימטריה עם "פרופורציה ראויה" היה מרכזי במשנתו של האדריכל הרומאי רב־ההשפעה ויטרוּביוס (?70-25 לפנה"ס), ונותר בעינו עד תום הרנסנס. ביצירתו עשרה ספרים על אדריכלות, שהייתה שקולה כנגד כתבי הקודש בעיניהם של אדריכלי אירופה במשך מאות שנים, כתב ויטרוביוס:

עיצובו של מקדש תלוי בסימטריה, וחייב האדריכל לתת את דעתו בקפדנות לעקרונותיה. הם נובעים מן הפרופורציה. פרופורציה היא התאמה בין המידות של חלקי העבודה השלמה, ושל השלם ביחס לחלק מסוים שנבחר כאמת־המידה. מכאן נובעים עקרונות הסימטריה.

משמעותה המודרנית של הסימטריה (כפי שהוצגה לראשונה בשלהי המאה השמונה־עשרה), במובן המתימטי המדויק, היא בעצם "חסינות מפני שינוי". כדברי המתימטיקאי הרמן וַייל (1885-1955), "עצם הוא סימטרי אם יש דבר־מה שאפשר לעשות לו, כך שאחרי עשיית המעשה נראה העצם בדיוק כפי שנראה לפני־כן." ראו למשל את המכתם הבא:

מה מוזר, כה אסימטרית היא ה"סימטריה".
ה"סימטריה" היא אסימטרית. כה מוזר, מה?

המכתם לא ישתנה אם תקראו אותו מילה במילה (בהתעלם מסימני הפיסוק) מהסוף להתחלה - הוא יישאר סימטרי ביחס לקריאה לאחור. אם נדמיין לנו את המילים כחרוזים בשרשרת, נוכל לתאר את הקריאה המהופכת הזאת כמין בבואת ראי של המכתם (אם כי לא פשוטה כמשמעה). מכתם זה אינו משתנה בהשתקפות ראי במובן המסוים הזה - הוא סימטרי ביחס להשתקפות ראי כזאת. לחילופין, אם תעדיפו לחשוב במונחים של הקראה בקול, הרי הקריאה לאחור היא מעין היפוך זמן, כמו הרצת סרט וידיאו לאחור (שוב לא פשוטו כמשמעו, משום שההברות עצמן אינן מתהפכות). מחרוזות מילים שזו תכונתן נקראות פָּלינדרוֹמים.

המצאת הפלינדרום מיוחסת בדרך־כלל לסוֹטָאדֶס "המתועב" ממָרוֹנֵיאָה, שחי במאה השלישית לפני הספירה במצרים ההלניסטית. הפלינדרומים היו אהובים מאוד על רבים מאשפי משחקי המילים, כמו האנגלי ג"א לינדון ומחבר ספרי המתימטיקה הבידורית מרטין גרדנר. אחד הפלינדרומים המשעשעים של לינדון, המבוסס על היפוך מילים, הוא זה: "Girl, bathing on Bikini, eyeing boy, finds boy eyeing bikini on bathing girl". פלינדרומים אחרים מבוססים על קריאה לאחור אות לאות, כמו האִמרה המיוחסת בהלצה לנפוליאון, "Able was I ere I saw Elba", או כותרתה של תוכנית מפורסמת על תעלת פנמה בסדרת נובה של הטלוויזיה הציבורית האמריקנית: "A Man, a Plan, a Canal, Panama".

גם במסורת העברית אפשר למצוא שפע של פלינדרומים. אברהם אבן עזרא (1089-1164), איש האשכולות בן תור הזהב בספרד, כתב: "אבי אל חי שמך למה מלך משיח לא יבא", ובהמשך, "דעו מאביכם כי לא בוש אבוש, שוב אשוב אליכם כי בא מועד". במראי המקום שבסוף הספר מופיעים קישורים לפלינדרומים עבריים מרובי מילים ואותיות.

למרבה ההפתעה, פלינדרומים אינם מצויים רק במשחקי מילים שנונים, אלא גם במבנהו של כרומוזום Y, המגדיר את הזוויג הזכרי. ריצופו המלא של כרומוזום Y הושלם רק ב־2003. הייתה זו גולת הכותרת של מאמץ אדירים, אשר מצא כי איש לא העריך נכונה לפני־כן את כוח ההשתמרות של כרומוזום הזוויג הזה. בשאר הגנום האנושי, זוגות של כרומוזומים נלחמים במוטציות מזיקות על־ידי החלפת גנים ביניהם. ומכיוון שאין ל־Y בן־זוג, חשבו עד אז הביולוגים של הגנום כי הוא הולך ומאבד את המטען הגנטי שלו, העתיד להיעלם כליל בסופו של דבר - אולי בתוך חמישה מיליוני שנים בלבד. אך למרבה השתוממותם, מצאו אנשי צוות הריצוף כי הכרומוזום נאבק נגד השחיקה הזאת בעזרת פלינדרומים. כשישה מיליונים מתוך חמישים מיליון אותיות הדנ"א שלו יוצרות רצפים פלינדרומיים - רצפים שאפשר לקוראם באופן זהה קדימה ואחורה בשני גדיליו של הסליל הכפול. לא זו בלבד שעותקים אלה מספקים גיבוי למקרה שיופיעו מוטציות מזיקות, הם גם מאפשרים לכרומוזום להזדווג עם עצמו, במידה מסוימת - להחליף את מיקום זרועותיו תוך ערבוב הגנים. כפי שאמר דייוויד פֵּייג' מ־MIT, ראש הצוות, "כרומוזום Y הוא חדר מראות."

כמובן, הדוגמה המוכרת ביותר של סימטריית השתקפות היא הסימטריה הדו־צדדית המאפיינת את ממלכת החי. מפרפרים עד לווייתנים, מעופות עד בני־אדם, אם תציבו ראי מול הצד השמאלי של הגוף תקבלו תמונה שהיא זהה כמעט לגמרי לצד הימני - אם תרשו לי להתעלם לפי שעה מההבדלים החיצוניים הפעוטים, אבל האומרים דרשני, שקיימים בכל זאת. ועוד אציין את העובדה שהאנטומיה הפנימית, וכמוה גם תפקודי המוח, אינם מחוננים כלל בסימטריה דו־צדדית.

בעיני רבים, המילה סימטריה מתפרשת כסימטריה דו־צדדית ותו לא. אפילו במילון ובסטר של השפה האנגלית, במהדורה השלישית והעדכנית ביותר שלו, מצויה (בין היתר) ההגדרה הבאה: "התאמה בגודל, בצורה ובמיקום יחסי בין חלקים שנמצאים משני צדדיו של קו הפרדה או מישור חציוני." התיאור המתימטי המדויק של סימטריה השתקפותית משתמש באותם המושגים עצמם. קחו ציור של פרפר בעל סימטריה דו־צדדית ומתחו קו ישר לאורך אמצע הגוף. אם תהפכו את הציור על פניו, תוך שמירת הקו האמצעי במקומו, תקבלו חפיפה מושלמת. הפרפר נשאר בלי שינוי - המונח המתימטי הוא אינוַוריאנטי - תחת השתקפות לאורך הקו האמצעי שלו.

לאור תפוצתה הרחבה כל־כך של סימטריה דו־צדדית בעולם החי, קשה להניח שזה פרי המקרה ותו לא. בעצם, אם נתאר לעצמנו את בעלי־החיים כאוספים עצומים של ביליונים על ביליונים של מולקולות, מספר התצורות האסימטריות שאפשר לבנות מהמולקולות הללו גדול לאין שיעור ממספר הצורות הסימטריות שאפשר לבנות מהן. רסיסיו של אגרטל שבור יכולים לנוח בערימה במספר רב של סידורים שונים, אבל יש רק סידור אחד שבו הם יכולים להשתלב יחדיו במתכונת אשר משחזרת את האגרטל המקורי (ובעל הסימטריה הדו־צדדית, ברוב המקרים). ובכל זאת, רשומות מאובנים מגבעות אֶדיאָקָרָה שבאוסטרליה מגלות כי אורגניזמים רכי־גוף (Spriggina, אבות הטרילוביטים) מהתקופה הוֶונדית (לפני 650 עד 543 מיליון שנה) כבר היו מחוננים בסימטריה דו־צדדית.

הואיל וצורות־החיים עלי אדמות עוצבו בעידנים על עידנים של אבולוציה וברירה טבעית, חזקה על התהליכים האלה שהעדיפו משום־מה את הסימטריה הדו־צדדית, כלומר סימטריית הראי. מכל הצורות הרבות והשונות שיכלו בעלי־החיים ללבוש, דומה שהצורות בעלות הסימטריה הדו־צדדית נהנו מעדיפות. אין מנוס מהמסקנה שסימטריה זו הייתה תוצאה סבירה של גדילה ביולוגית. האם יכולים אנו להבין את הסיבה להעדפה המסוימת הזאת? לכל הפחות, אנו יכולים לחפש אחדים משורשיה ההנדסיים בחוקי המכניקה. נקודה מרכזית שיש לתת עליה את הדעת בהקשר זה היא שלא כל הכיוונים על־פני כדור הארץ שווים במעמדם. כבידת כדור הארץ גורמת להבחנה ברורה וחדה בין צד מעלה וצד מטה (הצד הגבי והצד הבטני, בלשון הביולוגים). ברוב המקרים, מה שעולה למעלה חייב לשוב ולרדת למטה, אבל לא להפך. הבחנה אחרת, בין פנים ואחור, מקורה ביכולת התנועה של בעלי־חיים.

כל יצור שנע במהירות גבוהה יחסית - בים, ביבשה או באוויר - נהנה מיתרון ברור אם הקצה הקדמי שלו שונה מהאחורי. כאשר כל איברי החישה - הגלאים העיקריים של אור, קול, ריח וטעם - ממוקמים מלפנים, הדבר מקל בעליל על היצור להחליט להיכן לנוע, ומהי הדרך הכי טובה לנוע בה. "מכ"ם" קדמי גם מספק התראה מוקדמת מפני סכנות אפשריות. פֶּה בחלקו הקדמי של הגוף יכול להכריע את הכף בין השגת ארוחה לבין החמצתה. בה בעת, המכניקה של התנועה עצמה (בייחוד ביבשה ובאוויר) בתוך שדה הכבידה של כדור הארץ, יצרה הבדל ברור בין הצד התחתון והעליון. מרגע שיצאו החיים מהים ליבשה, היה עליהם לפתח התקנים מכניים כלשהם - רגליים - כדי לנוע ממקום למקום. לא היה צורך בגפיים כאלה בחלקו העליון של הגוף, וכך נעשה ההבדל בין מעלה ומטה מובהק עוד יותר. האווירודינמיקה של התעופה (עדיין בשדה הכבידה של כדור הארץ), בשילוב עם הצורך בכן נחיתה ובאמצעי כלשהו לתנועה על הקרקע, הסתכמו ביצירת ההבדלים בין מעלה ומטה בעופות.

אבל כאן עלינו להבחין הבחנה חשובה: אין שום דבר משמעותי - בים, ביבשה או באוויר - המבדיל בין שמאל וימין. הנץ המביט ימינה רואה בדיוק את אותה הסביבה שנגלית לעיניו המביטות שמאלה. המצב שונה כשמדובר בכיוונים מעלה ומטה - למעלה נמצאים מרומי השמים שאליהם הוא מגביה עוף, ואילו למטה משתרעת הקרקע ושם הוא בונה את קנו. אם נתעלם מחידודי לשון פוליטיים, אין בעולמנו הבדל חשוב בין שמאל וימין, משום שאין בו כוחות אופקיים חזקים. ודאי, סיבוב כדור הארץ סביב צירו, והשדה המגנטי שלו (העובדה שהארץ פועלת על הסובב אותה כמין מגנט מוֹט גדול), שני אלה אכן מחדירים אסימטריה. אבל התוצאים האלה אינם מתקרבים כלל בחשיבותם, ברמה המאקרוסקופית, להשפעות הכבידה והתנועה החייתית המהירה.

הדיון עד כה מסביר מדוע יש היגיון מכני בסימטריה הדו־צדדית של האורגניזמים החיים. סימטריה דו־צדדית היא גם חסכונית - כך מקבלים שני איברים במחיר של אחד. השאלה כיצד הופיעה הסימטריה הזאת, או כיצד לא הופיעה, מתוך הביולוגיה האבולוציונית (הגנים), או במובן יסודי עוד יותר, מחוקי הפיסיקה, היא שאלה קשה; אשוב לטפל בכמה היבטים שלה בפרקים 7 ו־8. כאן אציין רק כי ברבים מבעלי־החיים הרב־תאיים, הגוף העוברי אינו מחונן בסימטריה דו־צדדית בראשית התפתחותו. ייתכן מאוד שהכוח המניע את שינוי "התוכנית המקורית" עם גדילת העובר הוא צורכי התנועה, כאמור.

אבל לא כל עולם הטבע נע במהירות. צורות חיים שמעוגנות במקום אחד ואינן מסוגלות לנוע מרצונן, כמו צמחים ובעלי־חיים נייחים, אכן מגלות שוני רב בין מעלה ומטה, אבל קשה להבדיל אצלן בין פנים ואחור, או בין שמאל וימין. הסימטריה שלהן דומה לזו של החרוט - הן יוצרות השתקפויות סימטריות בכל ראי שעובר דרך הציר המרכזי שלהן, המאונך. כמה בעלי־חיים ניידים שתנועתם אטית מאוד, כמו המדוזות, מחוננים גם הם בסימטריה כזו.

כמובן מאליו, מרגע שהתפתחה סימטריה דו־צדדית ביצורים החיים, היה חשוב מאוד לשמור עליה. כל אובדן של אוזן או עין היה חושף את היצור לפגיעתם הקשה יותר של הטורפים המתגנבים אליו בלא שהרגיש בהם.

נשאלת השאלה, האם התצורה התקנית המסוימת שהעניק הטבע לאדם היא אכן האופטימלית. האל הרומי יָאנוּס, לדוגמה, היה אל השערים וההתחלות, ומשום כך נקרא על שמו החודש הראשון בשנה (ינואר). לכן הוא מופיע תמיד באמנות כבעל שני פנים, האחד צופה קדימה (סמלית, לעבר השנה החדשה) והאחר בעורף ראשו (צופה אל השנה שחלפה). מבנה כזה אולי היה מועיל לאדם לצרכים מסוימים, אבל לא היה משאיר מקום לחלקי המוח האחראים למערכות אחרות מלבד החושים. מרטין גרדנר, בספרו הנפלא היקום הדו־צדדי החדש, מספר את סיפורו של בדרן משיקגו המדבר בהופעותיו על היתרונות שבמיקום איברי חישה שונים בחלקים לא־רגילים של הגוף. אוזניים תחת בית־השחי, לדוגמה, היו נשארות חמימות בחורף הצורב של שיקגו. אך מובן מאליו שתצורה מעין זו כרוכה גם במגרעות: כושר השמיעה של אוזניים תחת בית־השחי היה מוגבל קשות, אלא־אם־כן היינו מחזיקים את זרועותינו מוגבהות כל הזמן.

בסרטי מדע בדיוני מופיעים דרך־קבע חייזרים בעלי סימטריה דו־צדדית. אם אמנם קיימים יצורים תבוניים חוץ־ארציים שהתפתחו מכוחה של אבולוציה ביולוגית, מה הסיכוי שהם מחוננים בסימטריה השתקפותית גבוה מאוד. לאור האוניברסליות של חוקי הפיסיקה, ובמיוחד חוקי הכבידה והתנועה, צורות־החיים של כוכבי־לכת מחוץ למערכת השמש שלנו ניצבות בפני אתגרים סביבתיים דומים לאלה שעמם מתמודדים החיים בעולמנו. כוח הכבידה עדיין מרתק את כל הדברים אל פני כוכב־הלכת, ויוצר הבחנה משמעותית בין מעלה ומטה. בדומה לכך, הצורך לנוע מבדיל בין פנים ואחור. קרוב מאוד לוודאי שאי־טי הוא דו־צדדי. אבל אין זאת אומרת כי חבריה של משלחת חייזרים שתגיע לביקור יהיו דומים לנו כהוא־זה. כל ציוויליזציה שהיא מספיק מפותחת לצאת למסעות בין־כוכביים, חזקה עליה שעברה מזמן את שלב המיזוג בין מין תבוני לבין מוצרי טכנולוגיית המחשבים שלו, המתקדמים לאין שיעור. ומתקבל ביותר על הדעת כי תבונת־על מבוססת־מחשב תהיה מיקרוסקופית בממדיה.

אחדות מהאותיות הרישיות של הא"ב הלטיני נמנות עם המוצרים הרבים, מעשה ידי אדם, שהם סימטריים בהשתקפות ראי. אם תחזיקו מול ראי דף נייר שנכתבו עליו האותיות A, H, I, M, O, T, U, V, W, X ו־Y, האותיות ייראו אותו הדבר. מילים (ואפילו צירופי מילים) שנוצרו מהאותיות האלה בלבד, כמו ההוראה האווילית במקצת הבאה,

יישארו בלי שינוי בהשתקפות ראי. להקת הפופ השוודית , שהתפרסמה בשירה מאמה מיה, כתבה את שמה בדרך מחוכמת ששיוותה לו סימטריית ראי. ואם תכתבו את המילים MAMMA MIA במאונך, גם הן יהיו בעלות סימטריית ראי. כמה אותיות, כמו B, C, D, E, H, I, K, O ו־X הן סימטריות ביחס להשתקפות בראי שמבתר אותן לרוחבן. מילים שנוצרו מהאותיות האלה, כגון COOKBOOK, BOX או CODEX, יישארו בלא שינוי אם יוחזקו מול ראי במהופך מלמעלה למטה.

אי־אפשר להפריז בתיאור חשיבותה של סימטריית השתקפות־הראי לתפיסתנו החושית ולתחושתנו האסתטית, כשם שאי־אפשר להפריז בתיאור חשיבותה לתיאוריה המתימטית של הסימטריה, לחוקי הפיסיקה ולמדע בכלל. אבל יש בנמצא עוד סימטריות, שחשיבותן אינה נופלת מזו.

האדריכלות השובבה של השלג
כותרת זו לקוחה מתוך "סופת השלגים" מאת המשורר והמסאי האמריקאי רלף וולדו אמרסון (1803-1882), ומביעה את תחושת ההשתוממות הממלאת את מי שמבחין בצורותיהם מרהיבות־העין של פתיתי שלג (ציור מס' 4). נהוג לומר כי "לעולם אין שני פתיתי שלג דומים זה לזה", וגם אם הדבר אינו מדויק לגמרי, ברמת ההתבוננות בעין לא־מצוידת, בכל זאת אמת היא כי פתיתי שלג שנוצרו בסביבות שונות אכן יהיו שונים זה מזה. האסטרונום המפורסם יוהנס קֶפּלֶר (1571-1630), שגילה את החוקים המושלים בתנועות כוכבי־הלכת, התרשם מנפלאותיהם של פתיתי השלג עד־כדי־כך שייחד להם מסה שלמה, "פתית השלג בעל ששת הקודקודים", שניסתה להסביר את הסימטריה של פתיתי שלג. מלבד סימטריית השתקפות־הראי,

כל פתית שלג מחונן בסימטריה סיבובית - אפשר לסובב אותו בזוויות מסוימות סביב ציר ניצב למישור שלו (העובר דרך מרכזו), והוא יישאר כפי שהיה. התכונות והצורה של מולקולת המים הן האחראיות לכך שפתיתי השלג הטיפוסיים הם בעלי שישה קודקודים זהים (ביתר דיוק, כמעט זהים). כתוצאה מכך, זווית הסיבוב הקטנה ביותר (מלבד שום סיבוב בכלל) שמשאירה את הצורה בלא שינוי, היא זו שבה כל קודקוד מחליף את משנהו ב"דילוג" אחד: 360 6 = 60 מעלות. שאר הזוויות המוליכות לצורה סופית זהה אינן אלא כפולות של זוויות זו: °120, °180, °240, °300 ו־°360 (זו האחרונה מחזירה את פתית השלג לתנוחתו המקורית, והיא שקולה אפוא לשום סיבוב בכלל). לפיכך, פתית השלג מחונן בסימטריה סיבובית כפולת־שש.

לעומת זאת, לכוכב־הים סימטריה סיבובית כפולת־חמש; אפשר לסובב אותו בזוויות של °72, °144, °216, °288 ו־°360, בלא כל הבדל גלוי לעין. פרחים רבים, כמו הציפורן, הקחוון והחמנית, מפגינים סימטריה סיבובית מקורבת. הם נראים אותו הדבר, פחות או יותר, כשמסובבים אותם בכל זווית (ציור מס' 5). הסימטריה, בשילובה עם צבעים ססגוניים ועם ריחות משכרים, היא תכונה בסיסית המעניקה לפרחים את כוח המשיכה האסתטי האוניברסלי שלהם. היטיב לבטא את הזיקה שאנו יוצרים בנפשנו, בין פרחים ויצירות אמנות, הצייר ג'יימס מקניל ויסלר (1834-1903):

יצירת המופת צריכה להתגלות כדרך שהפרח נגלה לעיני הצייר - מושלם בהנצתו כבמלוא פריחתו - בלי שום סיבה להסביר את נוכחותו - בלי שום שליחות שיש למלאה - חדווה לאמן, אשליה לנדבן - חידה לבוטנאי - מקריות של רגש ענוג ושל משחק מילים לאיש הרוח.

אם נקבל את ההשערה האסתטית הזאת, אפשר שהסימטריה פשוט מייצגת את אחד המרכיבים של "הצורה המשמעותית" הזאת, שהגדרתה מעורפלת למדי. ואם כן, ייתכן שתגובתנו על תבניות סימטריות אינה שונה ביותר (גם אם היא אולי פחות חזקה) מרגישותנו האסתטית הכללית. אבל לא הכול מסכימים לקביעה זו. התיאורטיקאי של האסתטיקה הרולד אוסבורן אמר את הדברים הבאים על תגובת האדם על הסימטריה של רכיבים יחידים או של עצמים שלמים, כגון פתיתי שלג: "יש בכוחם לעורר עניין, סקרנות והתפעלות. אבל ההתעניינות החזותית בהם היא שטחית, ואינה נמשכת זמן רב: בניגוד להשפעתה של יצירת מופת אמנותית, הקשב החזותי מתחיל לתעות עד־מהרה, ולעולם אינו עמוק. אין שום חידוד של התפיסה." למען האמת, יש בדעתי להראות בפרק הבא ובפרק 8 כי הסימטריה דווקא קשורה קשר הדוק לתפיסה החושית. אך לפי שעה, אבקש להתמקד ב"ערך" האסתטי גרידא של הסימטריה.

שני פסיכולוגים ממכללת דארטמות, פיטר ג' סילאגי וג'ון ק' בֵּיירד, ערכו ב־1977 ניסוי מרתק שנועד לבדוק את היחס הכמותי בין מידת הסימטריה של תבניות לבין העדפות אסתטיות. עשרים סטודנטים לתואר ראשון (הנבדקים השכיחים ביותר של נסייני הפסיכולוגיה) התבקשו לבצע שלוש פעולות פשוטות. תחילה הוזמנו לסדר שמונה ריבועים שבמרכזם נקודה שחורה בתוך שורה של שמונה־עשרה משבצות, שכל אחת מהן שווה בגודלה לריבועים (ציור 6 א'). ההוראה שניתנה לנבדקים הייתה לסדר את הפיסות באופן שנראה להם "נעים לעין". כל פיסה הייתה צריכה לכסות משבצת אחת בשלמותה, והיה עליהם להשתמש בכל הריבועים. שתי המשימות הבאות היו דומות במהותן. בשנייה היה עליהם לסדר אחת־עשרה פיסות במערך של 5 5 (ציור 6 ב'), ובשלישית היה עליהם להתאים שתים־עשרה קוביות לחורים במבנה תלת־ממדי שקוף של שלושה מישורים אופקיים, שבכל אחד מהם תשעה חורים ריבועיים (ציור 6 ג'). התוצאות הצביעו על העדפה אסתטית חד־משמעית לתבניות סימטריות. לדוגמה, 65 אחוז מהנבדקים יצרו דוגמאות מושלמות של סימטריית השתקפות־ראי במשימה הראשונה. למעשה, סימטריה הייתה הרכיב העיקרי בתבניות שיצרו רוב הנבדקים (בממד אחד, בשניים ובשלושה), והסימטריה המושלמת הייתה המצב המועדף ביותר.

הזיקה בין סימטריה לבין טעם אמנותי אינה מופיעה רק בניסויים, אלא גם בתיאוריה הספקולטיבית יותר של האסתטיקה שפיתח מתימטיקאי מפורסם מהרווארד, ג'ורג' דייוויד בירקהוף (1884-1944). יותר מכול זכור בירקהוף על שהוכיח ב־1913 השערה גיאומטרית מפורסמת שניסח המתימטיקאי הצרפתי אנרי פּוּאַנקָרֶה, ועל המשפט האֶרגוֹדי שלו, שפורסם בשנים 1931-1932 והרים תרומה חשובה מאין כמוה לתורת הגזים ולתורת ההסתברות. כשעוד היה סטודנט לתואר ראשון, התחיל בירקהוף להתעניין במבנה המוסיקה, ובסביבות 1924 הרחיב את התעניינותו לאסתטיקה בכלל.

ב־1928 הקדיש חצי שנה לשיטוטים ברחבי אירופה והמזרח הרחוק, בשאיפה לספוג אמנות, מוסיקה ושירה בכמות גדולה עד כמה שאפשר. ניסיונותיו לפתח תיאוריה מתימטית של הערך האסתטי סוכמו בספרו מידה אסתטית, שראה אור ב־1933. בירקהוף דן בפירוט בתחושה האינטואיטיבית של ערך שמעוררות בנו יצירות אמנות, תחושה "נבדלת בעליל מכל תחושה חושית, רגשית, מוסרית או אינטלקטואלית." הוא חילק את ההתנסות האסתטית לשלושה מופעים: (א) גיוס הקשב הנחוץ לתפיסה; (ב) הכרה בכך שהעצם מצטיין בסדר מסוים; (ג) הוקרת הערך, הגומלת על המאמץ הנפשי. מכאן פנה בירקהוף להקצות מידות כמותיות לשלושת השלבים. המאמץ הראשוני, קבע, גדל ביחס ישר למורכבות העבודה (שסימנה C). סימטריוֹת ממלאות תפקיד מרכזי בסדר (שסימנו O) המאפיין את העצם. ולבסוף, תחושת הערך היא הקרויה בפי בירקהוף "המידה האסתטית" (שסימנה M) של יצירת האמנות.

אפשר לסכם את עיקרי התיאוריה של בירקהוף כדלקמן: בכל מחלקה של עצמים אסתטיים, כגון עיטורים, אגרטלים, יצירות מוסיקליות או שירה, אפשר להגדיר סדר O ומורכבות C. המידה האסתטית של עצם כלשהו במחלקה זו מתבטאת אפוא בתוצאתו של חישוב פשוט - חלוקת O ב־C. במילים אחרות, בירקהוף הציע נוסחה לתחושת הערך האסתטי: M = O C. משמעות הנוסחה היא זו: בכל מידה נתונה של מורכבות, המידה האסתטית גבוהה יותר ככל שגבוה הסדר שהעצם מחונן בו. לחילופין, אם כמות הסדר היא הקבועה, המידה האסתטית גבוהה יותר ככל שהעצם פחות מורכב. ומכיוון שלרוב הצרכים המעשיים, הסדר מוכתב בראש ובראשונה על־פי הסימטריוֹת של העצם, תיאוריית בירקהוף מציבה את הסימטריה כמרכיב אסתטי מכריע. בירקהוף הזדרז להודות כי כמובן, ההגדרות המדויקות של המציינים O, C ו־M שלו אינן פשוטות כלל ועיקר.

ובכל זאת עשה ניסיון נועז לספק מרשמים מפורטים לחישוב המידות האלה לכל מיני צורות אמנות. במיוחד, הוא פתח בצורות גיאומטריות פשוטות כמו אלה שבציור 7, המשיך בחפצי נוי ובאגרטלים סיניים, עבר להרמוניה של הסולם המוסיקלי הדיאטוני והגיע עד לשירתם של טניסון, שייקספיר ואיימי לוֹוֶל. שום אדם - ודאי לא בירקהוף עצמו - לא היה טוען כי ניתן לצמצם את דקויות ההנאה האסתטית במלואן לנוסחה מתימטית אחת. ובכל זאת, כדברי בירקהוף עצמו, "בניתוח הנלווה בהכרח לתהליך היצירה, תיאוריית המידה האסתטית מסוגלת לבצע שירות כפול: היא נותנת תיאור פשוט ומאוחד של ההתנסות האסתטית, והיא מספקת אמצעי לניתוח שיטתי של תחומים אסתטיים טיפוסיים."

אם נשוב עתה מהפלישה הקצרה הזו לארץ האסתטיקה אל העניין שבו עסקנו, סימטריה סיבובית, עלינו לציין כי אחת הצורות המישוריות הפשוטות ביותר שיש להן סימטריה סיבובית היא המעגל (ציור 8 א'). אם תסובבו אותו סביב מרכזו בזווית של °37, נאמר, הוא יישאר בלא שינוי. למעשה, תוכלו לסובב אותו בכל זווית שהיא סביב ציר ניצב העובר דרך מרכזו, ולא תרגישו בכל שינוי. כלומר, המעגל מחונן במספר אינסופי של סימטריות סיבוביות. ואין אלה הסימטריות היחידות שהמעגל מחונן בהן. השתקפויות בכל הצירים המבתרים את קוטרו (ציור 8 ב') ישאירו גם הן את המעגל בלא שינוי.

כלומר, מערכת יחידה יכולה להיות מחוננת בסימטריות מרובות, ובמילים אחרות, להיות סימטרית תחת שפע של התמרות סימטריה. סיבובו של כדור מושלם סביב מרכזו, לפי ציר שנמתח בכל כיוון שהוא, ישאיר את מראהו בדיוק כפי שהיה לפני־כן. או ראו לדוגמה את המשולש שווה־הצלעות שבציור 9 א'. איננו רשאים לשנות את צורת המשולש הזה או את גודלו, או להזיז אותו ממקום למקום. אילו התמרות (טרנספורמציות) נוכל לבצע בו, שישאירו אותו בלא שינוי? נוכל לסובב אותו בזוויות של °120, °240 ו־°360, סביב הציר הניצב למישור המשולש והעובר דרך הנקודה O (ציור 9 ב'). התמרות אלה משנות אמנם את מיקומי הקודקודים, אבל אם נהפוך את גבנו בשעה שמישהו מבצע את הסיבובים האלה, לא נבחין בשום שינוי כשנחזור להביט במשולש. שימו לב, סיבוב ב־360 מעלות שקול כנגד שום תזוזה בכלל, כלומר סיבוב של °0. מכנים זאת בשם התמרת הזהוּת. מדוע יש צורך בכלל להגדיר התמרה כזאת? כפי שנראה בהמשך הספר, התמרת הזהות ממלאת תפקיד דומה לזה של המספר אפס בפעולת החשבון חיבור, או לזה של המספר אחד בפעולת הכפל - כשאנו מוסיפים אפס למספר, או מכפילים מספר באחד, המספר נשאר בעינו.

אנו יכולים גם לשקף את המשולש בראי שניצב על אחד הקווים המקוטעים בציור 9 ג'. לפיכך יש בדיוק שש התמרות סימטריה - שלושה סיבובים ושלוש השתקפויות - הקשורות למשולש שווה־הצלעות.

ומה עם צירופים של אחדות מההתמרות הללו, כגון השתקפות ואחריה סיבוב? האין הם מגדילים את מספר הסימטריוֹת של המשולש? אחזור לשאלה זו כשנגיע לדיון בשפת הסימטריה. אך לפי שעה, יש עוד סימטריה חשובה שעלינו לעסוק בה.

© כל הזכויות שמורות לאריה ניר הוצאה לאור

שפת הסימטריה - המשוואה שלא נמצא לה פתרון - מריו ליביו
The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry - Mario Livio


לראש העמוד

מומלצים: ספרים | כתב עת ספרים | עולם חדש | רמקולים | זכות הילד לכבוד
| סמיוטיקה | מטר | רמות | Tom | דלילה | גד ויספלד | מיקרוטופינג

ספרים חדשים באוגוסט 2019:
אולטימטום, אי אפשר לברוח מהשמש, אלוהים אתה שם? זאת מרגרט, אמש, לילה אחרון, בין המולדות, במקום גרניום, גיא בן הינום, גשם חייב לרדת, דוניא, האוויר שאת נושמת, האיש שלא שרף את קפקא, האישה שלא הייתה, האלמנה השחורה, הזנה רעילה, הכד השחור: רומן משפחתי, הכלה מאיסטנבול, המיסה של האתאיסט, המשהו הזה, הסבך, השועלים של שמשון, וינה 1900 , חוק 5 השניות, חיים לנצח, יפים כמו שהיינו, לֻזוּמִּיַאת: התחייבויות וחובות מופרים, לא העזנו לדעת, לאהוב מחדש, לקראת אוטוביוגרפיה מינורית, מבוסס על סיפור אמיתי, מסע דילוגים, מרלנה, נהר הקרח, נשים ללא גברים, סודות, סוכרי יוסי - אמזלג, סטארט אפ, סער ופרץ, ספר געגועים, עגלות , עוד לילה אחד, עינה של האורקל, על מקום הימצאה, עצי לבנה ומסילות ברזל, פול אוסטר 4321, פיצות,איקאה ודילמת האיש השמן, ציפור בעיר קדושה, רומן, רשימת המוזמנים, שמיים שאין להם חוף.

ספרים חדשים

סמיוטיקה - בניית אתרים, עיצוב אתרים
* * *