Amazon.com Widgets

  ספרים חדשים - אתר טקסט    ⚞  שנת 2006  ⚟

 | 2020 | 2019 | 2018 | 2017 | 2016 | 2015 | 2014 | 2013 | 2012 | 2011 | 2010 | 2009 | 2008 | 2007 | שנת 2006 | 2005 | 

|  אוגוסט 2019 |  יולי 2019 |  יוני 2019 |  מאי 2019 |  אפריל 2019 |  מרץ 2019 |  פברואר 2019 |  ינואר 2019  |  דצמבר 2018 |  נובמבר 2018  |  אוקטובר 2018 |  ספטמבר 2018 |

» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005
» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005
» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005
» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005
» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005
» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005
» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005
» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005
» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005
» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005
» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005
» פרויקט נחום גוטמן
» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005
» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005
» ספרים בינואר 2007
» ספרים בדצמבר 2006
» ספרים בנובמבר 2006
» ספרים באוקטובר 2006
» ספרים בספטמבר 2006
» ספרים באוגוסט 2006
» ספרים ביולי 2006
» ספרים ביוני 2006
» ספרים במאי 2006
» ספרים באפריל 2006
» ספרים במרץ 2006
» ספרים בפברואר 2006
» ספרים בינואר 2006
» ספרים בדצמבר 2005


גודל אות רגילגודל אות גדול יותרגודל אות גדול מאוד

| כולם | ספרים בחודשים |
| אודות טקסט | יצירת קשר |
פרטיות בטקסט

ספרים חדשים בפורמט RSS


» טקסט  » עיון חברה ובקורת  » ספרים חדשים באוגוסט 2006       חזור

ההוכחה והפרדוקס - משפטי האי שלמות של קורט גדל
מאת: רבקה גולדסטיין
The Proof and Paradox of Kurt Godel - Rebecca Goldstein

ההוצאה:

אריה ניר

קורט גדל היה לוגיקאי גאון, וחברו הקרוב ביותר של אלברט איינשטיין בשנותיו האחרונות. תגליתו הגדולה הייתה צמד משפטים כמעט פרדוקסליים ושמם "אי-שלמות". בשיטת הוכחה מקורית ומבריקה הוא חשף תהום שאינה ניתנת לגישור בכל ניסיונותינו להשליט שיטתיות בחשיבה המתימטית.

בעיני גדל הייתה זו ראיה לקיומה של אמת אובייקטיבית ונצחית, שאינה תלויה במחשבות האדם ושתודעתו של האדם יכולה לתפוס אותה רק במעומעם.

כמו המשפטים שלו, קורט גדל עצמו היה אדם פרדוקסלי: תמהוני, ועם זאת נחשב לגדול הלוגיקאים מאז אריסטו. למרות האי-רציונליות שלו עצמו, הוא נתן את מלוא אמונו בהיגיון. הוא סבל מאשליות פרנואידיות, שהוליכו בסופו של דבר למותו הטרגי.

ההוכחה והפרדוקס - משפטי האי שלמות של קורט גדל
שתפו אותי

ההוכחה והפרדוקס הוא ביוגרפיה מדעית חדשה וחשובה הפורשת את סיפור חייו של קורט גדל, את עבודתו ואת עולמו.

רבקה גולדסטיין, סופרת ופילוסופית של המדע, מציגה לפנינו את משפטי האי־שלמות של גדל ואת השלכותיהם שלא ייאמנו, בבהירות וברהיטות. בה בעת, היא מפיחה חיים בגאון התמהוני והמיוסר שפיתח אותם. רבקה גולדסטיין חיברה חמישה רומנים, סיפורים קצרים ומאמרים מדעיים. זכתה בפרסים רבים על כתיבתה ועל עבודתה האקדמית, ביניהם מלגת מקארתור היוקרתית.

מתוך הספר ההקדמה: הגולים

זהו יום של שלהי קיץ באחד מפרברי ניו ג'רזי. שני גברים מטיילים בדד על שביל, ידיהם שלובות מאחורי הגב והם משוחחים חרש. ממעל מחפות עליהם צמרות העצים העבותות מפני אור השמש. בתים ישנים ומפוארים ניצבים במרחק־מה משולי הדרך, ומן העבר השני, ממש מאחורי הבוקיצות, משתרע לו מרבד ירוק ושופע של מסלול גולף, וקולותיהם העמומים של השחקנים עולים ובאים ממרחקים.

אך למרות כל הסימנים המעידים כי אין זו אלא עוד אחת מאותן מובלעות פרבריות השמורות לחוג האמידים, שתושביהן יוצאים מדי יום לכרך הגדול כדי לפרנס את עצמם ברווחה שכזו, אל לנו ללכת שולל אחר מראית־עינינו. לא, המקום הוא פרינסטון שבניו ג'רזי, ביתה של אחת האוניברסיטאות החשובות ביותר בעולם, ולכן אוכלוסייתו מגוונת הרבה יותר מכפי שניתן לחשוב ממבט ראשון. ובעת שאנו מוצאים את השניים הללו חוזרים הביתה בניחותא באותו שביל צדדי שקט, אוכלוסיית פרינסטון הולכת ונעשית קוסמופוליטית עוד יותר, שכן מצטרפים אליה רבים מטובי המוחות של אירופה, פליטי היטלר. כפי שאמר איש חינוך אמריקני באותם ימים, "היטלר מנער את העץ ואני אוסף את התפוחים." אחדים מהמשובחים בתפוחים הללו התגלגלו ובאו בסופו של דבר לקרן־הזווית הקטנה הזאת של העולם.

אין פלא אפוא ששני המטיילים משוחחים בשפה הגרמנית. אחד מהם, לבוש בחליפת פשתן לבנה ומהודרת וחובש כובע רחב־תיתורת מתאים, עודו בשנות השלושים לחייו; ואילו חברו, במכנסיים התלויים עליו כשק, המרותקים למקומם בכתפיות נוסח העולם הישן, מתקרב לשנתו השבעים. למרות הפרש הגילים ביניהם, דומה שהם משוחחים זה עם זה כשווים במעלה, אם כי פניו של הקשיש מן השניים מתקמטות מפעם לפעם בחיוך משועשע, עמוק־קמטים, והוא נד בראשו כאילו אמר לו חברו זה עתה משהו מטורלל לגמרי.

באחד מקצותיו של השביל המוצל, מאחורי גבם של שני המהלכים, ניצב בניין לבֵנים אדומות חדש ומרשים ביותר, בסגנון המלך ג'ורג'. זהו המכון ללימודים מתקדמים, השוכן בלב מדשאה רחבת ידיים. המכון, שהוקם יותר מעשר שנים לפני־כן, שכן בראשית דרכו בחדרים שׂכורים בבניין הגותי השייך למחלקה למתימטיקה של אוניברסיטת פרינסטון. אבל נהירת המוחות מאירופה רוממה את יוקרתו, והוא עבר בינתיים לקמפוס גדול והדור משלו, במרחק קילומטרים ספורים משם. יש בקמפוס בריכה טבעית ויער קטן, מבותר שתי־וערב בשבילים - מקום מתאים מאין כמוהו למרדפים אחר רעיונות חמקמקים.

כבר עתה, בתחילת שנות הארבעים, המכון ללימודים מתקדמים הוא חריג בנוף האמריקני, משכנם של אנשי רוח מועטים, נבחרים. אולי אפשר להסביר את ייחודו של המכון, לפחות חלקית, בכך שהוא צמח מחזונו של אדם יחיד. ב־1930 שכנע אברהם פלֶקסנֶר - האיש שחולל מהפכה מרחיקת־לכת בהוראת הרפואה בארצות הברית - את לואי במברגר ואת אחותו קרוליין במברגר פוּלד, יורשיה של רשת חנויות כל־בו בניו ג'רזי, לממן את הקמתה של אקדמיה מסוג חדש, שתוקדש "לתועלת שבידע חסר־תועלת". בעלי הממון הללו מכרו את העסק שלהם לחברת ר"ה מייסי ושות' שבועות ספורים לפני התמוטטות הבורסה; עתה היו בידיהם 30 מיליון דולר, ומכיוון שביקשו לנהוג נדיבות בכספם, פנו אל פלקסנר וביקשו את עצתו: כיצד ישתמשו בהונם לקידום רוח האדם?

פלקסנר, בן למהגרים מאירופה המזרחית, קיבל על עצמו כמה שנים לפני־כן לחשוף בכוחות עצמו את מצבה העלוב של הוראת הרפואה באמריקה. בשנים הראשונות של המאה העשרים היה באותה ארץ עודף של בתי־ספר לרפואה, ותוארי הדוקטור שהעניקו רבים מהם העידו רק על כך שמקבליהם שילמו את שכר הלימוד ככל אשר נדרש מהם, ותו לא. במדינת מיזורי לבדה היו 42 בתי־ספר לרפואה, ובעיר שיקגו - 14. הדו"ח שהגיש פלקסנר פורסם על־ידי קרן קַרנֶגי לקידום ההוראה, חשף את החרפה ושינה את המצב. אחדים מהגרועים במוסדות הללו קיפלו את דוכניהם ונבלעו בחשכת הלילה.

במברגר ופולד היו אסירי־תודה ללקוחותיהם לשעבר בניו ג'רזי, וביקשו להשיב להם כגמולם. הרעיון הראשון שעלה על דעתם היה הקמת בית־ספר לרפואה, ולכן שלחו את נציגיהם לשוחח עם האיש שידע כל־כך הרבה על הדרכים הראויות להוראת רפואה. (אחיו של פלקסנר היה ראש בית־הספר לרפואה של אוניברסיטת רוקפלר, שאותו הציג פלקסנר כמופת.) אבל פלקסנר השתעשע ברעיונות אוטופיים עוד יותר, ולא היה מוכן להסתפק בדאגה לכך שרופאי אמריקה יֵדעו משהו על רפואה. רעיונותיו על רפורמה בחינוך נטו עתה, בתפנית חדה, מן המעשי אל המופשט. עלה בדעתו לכונן נמל מבטחים לאנשי הרוח הטהורה - להקים את מגדל השן שהיה לשם־דבר, ולוּ גם בבניין של לבֵנים אדומות: קיצורו של דבר, ליצור את המוסד שנודע לימים בשם המכון ללימודים מתקדמים.

כאן יקבלו אנשי הסגל, הנבחרים בקפדנות וביראה, את היחס שהם ראויים לקבלו כנסיכי הבּינה הטהורה. הם יבואו על שכרם בעין יפה (לא לחינם כינו כמה לצים את המוסד בשם "המכון לתשלומים מתקדמים"), ומלבד זאת יזכו במותרות שלא יסולאו בפז - זמן בלתי־מוגבל לחשיבה, כי הם יהיו פטורים מהצורך הטרחני להכין הרצאות ולבדוק בחינות. למעשה, הם יהיו פטורים מהנטל הטרחני של נוכחות סטודנטים בכלל. במקום זאת יבואו לבקרם למשך שנה או שנתיים, בזה אחר זה, מלומדים צעירים ומחוננים.

אלה (שנקראו לאחר זמן "חברים ארעיים") היו אמורים להזריק לעורקי הגאוניות מנות רעננות של מרץ, נעורים והתלהבות. "תהיה זו חברה חופשית של מלומדים," כתב פלקסנר. "חופשית, כי אנשים בוגרים שמפעמת בהם תכלית אינטלקטואלית חייבים לקבל את החירות לחתור אל מטרותיהם בדרכיהם שלהם." המקום צריך ליצור סביבה פשוטה אך מרווחת, "ומעל הכול שקטה ושלווה - פטורה מכל הסחת־דעת מחמת דאגות לצורכי העולם הזה או מחמת אחריות הורית לסטודנטים שטרם בגרו." בתחילה ביקשו במברגר ופולד להקים את המוסד שלהם בניוארק שבניו ג'רזי, אבל פלקסנר שכנע אותם שפרינסטון, בעלת המסורת הלמדנית בת מאות השנים, המבודדת בין פרברי הירק השאננים, תתאים הרבה יותר להפקת התוצאות הרצויות משאר־רוח שאין עליו שום עול.

פלקסנר החליט לבנות את חזונו על יסודותיה המוצקים של המתימטיקה, "המחמירה מכל הדיסציפלינות", כלשונו. במובן ידוע, המתימטיקאים הם האקדמאים המרוחקים ביותר ממחשבות על "העולם הממשי" - ואת הביטוי הזה יש להבין, בהקשר זה, לא רק כהתייחסות לעולם המעשי של ענייני דיומא. "העולם הממשי" אמור להקיף את כל הדברים, פחות או יותר, שיש להם קיום גשמי - להבדיל מרעיונות, ממושגים ומתיאוריות: עולם הרוח. כמובן, עולם הרוח בפירוש יכול להתייחס לעולם הממשי, ולרוב הוא אמנם מתייחס אליו; אבל הדברים האלה אינם אמורים, בדרך־כלל, במתימטיקה.

המתימטיקאים, בריחוקם הקיצוני, אולי אינם נהנים (או סובלים) מתשומת לבו המרובה של הציבור הרחב; אך בקרב אלה שחיים את חיי הרוח הם נחשבים למעמד מיוחד ומופלא, בזכות שיטותיהם הדקדקניות ומסקנותיהם הוודאיות. יש זיקה הדוקה בין הסממנים האלה, המיוחדים במינם, לבין אחדוֹת מאותן הסיבות עצמן שבגללן המתימטיקאים אינם מביאים שום תועלת לשום איש (במובן זה שידע מתימטי אינו מוליך כשלעצמו לשום תוצאות מעשיות, ואין בו דבר שעשוי לשנות את מצבנו החומרי לטוב או לרע).

המתימטיקה מקבלת את הדקדקנות ואת הוודאות שלה מלכתחילה, אַ־פְּרִיוֹרִי; רוצה לומר, המתימטיקאי אינו נדרש לתצפיות כלשהן על־מנת להגיע לאמונותיו המתימטיות. אין זאת אומרת שהאמונות הללו מוּלדות, כאילו אנו מצוידים בהן כבר ברגע היוולדנו. כמובן מאליו, עלינו לרכוש תחילה את המושגים, ואת הלשון הנחוצה להבעתם, בטרם נגיע לכלל אמונה כי 5 + 7 = 12 (מוּלָדוּת היא מושג פסיכולוגי, ואילו מלכתחיליות היא מושג אֶפּיסטֶמולוגי, הנוגע לאופן שבו אנו מצדיקים את אמונתנו, ומבהיר מה נחשב כראיה בעדה או נגדה).

והתובנות המתימטיות הללו אינן כרוכות, כשלעצמן, בתצפיות כלשהן; כיוון שכך, אין בהתנסויותינו שום דבר שיכול לקעקע את יסודות ידיעתנו אותן. שום התנסות בעולם לא תוכל להיחשב כיסוד לשינוי אמונתנו כי 5 + 7 = 12, לדוגמה. אילו צירפנו 5 דברים ל־7 דברים וקיבלנו 13 דברים, היינו מונים מחדש. ואילו היינו מוצאים, אחרי עוד ועוד מנִיות מחדש, כי יש בידינו 13 דברים, היינו מניחים שאחד מ־12 הדברים התפצל בינתיים לשניים, או שאנו מבוסמים, או אנו חולמים, או אולי אפילו יצאנו מדעתנו. האמת הזאת,
5 + 7 = 12, משמשת אותנו להערכת ההתנסות הקרויה מנִייה, ולא להפך.

צביונה המלכתחילי הזה של המתימטיקה הוא עניין מסובך ומבלבל. בגללו המתימטיקה כה מסקנית, כה קשוחה בעמדותיה: משפט מתימטי, לאחר שהוּכח, יהיה חסין לעולם ועד מפני תיקונים אמפיריים. בלשון הכללה, יש למתימטיקה מין חסינות גורפת, דווקא מפני שהיא מלכתחילית. במגדל השן של הבּינה הטהורה ניצבים המתימטיקאים בראש הצריח העליון שבעליונים, נישאים ונשגבים, כי שיטת עבודתם היא החשיבה, אך ורק החשיבה; וזהו אחד הדברים שהתכוון להם פלקסנר כשאמר על הדיסציפלינה שלהם כי היא המחמירה מכול.

למרות שיעור קומתם האינטלקטואלי, המתימטיקאים הם אנשים זולים יחסית להחזקה. כל מה שדרוש, שוב כלשונו של פלקסנר, הוא "אנשים אחדים, סטודנטים אחדים, חדרים אחדים, ספרים, לוחות קיר, גיר, ניירות ועפרונות." אין צורך במעבדות יקרות, במצפי כוכבים או במיכון כבד. המתימטיקאים נושאים את כל ציודם בקופסאות הגולגולת שלהם, וזו עוד אחת מהדרכים שבהן המתימטיקה היא מלכתחילית. ועוד הביא פלקסנר בחשבון, בשיקוליו המעשיים, את העובדה שהמתימטיקה היא אחת הדיסציפלינות המעטות שבהן שוררת תמימות־דעים כמעט מוחלטת בדבר זהותם של הטובים בטובים. כשם שהמתימטיקה, לבדה מבין הדיסציפלינות, מסוגלת להציג את מסקנותיה בסופיות הבלתי־מעורערת של חשיבה מלכתחילית, כן היא יכולה לדרג את העוסקים בה בביטחון כמעט מתימטי. פלקסנר, שלא רק תכנן את המכון אלא גם כיהן כמנהל הראשון שלו, ידע בדיוק את מי הוא צריך להשיג.

כעבור זמן קצר ריכך פלקסנר את דרישותיו במידה מסוימת, והיה מוכן לקבל לשורות המכון את התיאורטיים ביותר מבין הפיסיקאים ואת המתימטיים ביותר מבין הכלכלנים. בשלהי 1932 עלה בידו להכריז כמנצח על קבלת שני אנשי הסגל הראשונים: אוסוולד וֶבּלֶן איש פרינסטון, מתימטיקאי מהשורה הראשונה, ומגרמניה - אלברט איינשטיין, הוא ולא אחר, המדען שנעשה דמות כמעט פולחנית, ומשום כך רדפו אותו הנאצים בשצף־קצף שכזה. מדענים גרמנים התקיפו את תורות היחסות של איינשטיין, הפרטית והכללית, כמייצגות את "הפיסיקה היהודית" הפתולוגית, שנשחתה מחמת התאהבותם החולנית של היהודים במתימטיקה מופשטת. עוד לפני שנכנסה לפעולה המערכה לרצח־עם, הוצב אותו פיסיקאי ברשימת החיסול המיוחדת של הרייך השלישי.

כצפוי, הרבה אוניברסיטאות היו מוכנות ומזומנות לפתוח את שעריהן לפני הפליט עתיר היוקרה; במיוחד, המכון הטכנולוגי של קליפורניה בפָּסָדִינָה פעל במרץ לגיוסו. אבל איינשטיין העדיף את פרינסטון - יש אומרים, משום שזו הייתה האוניברסיטה האמריקנית הראשונה שגילתה עניין בעבודתו. ידידיו, שהעיפו את מבטם הקוסמופוליטי במושב הלמדנות הזה בניו ג'רזי, שאלו אותו, "אתה רוצה לאבד את עצמך לדעת?" אבל האיש שראה את מכורתו הופכת לשונאת בלב ובנפש התקשה, כנראה, לעמוד בפני לבביותה של פרינסטון, שהורעפה עליו עוד בשלב כה מוקדם בדרכו ונמשכה מאז ואילך. איינשטיין ביקש מפלקסנר משכורת של 3,000 דולר לשנה, ופלקסנר החזיר לו בהצעה נגדית, 16,000. לא יצאו ימים רבים, ובעל הראש העטור בשיער מחושמל נראה מטייל על מדרכות הפרברים; ידוע לפחות מקרה אחד שבו התנגשה מכונית בעץ, "אחרי שהנהג זיהה פתאום את פניו של הקשיש יפה־התואר שהתהלך לו ברחוב."

עוד מאורות אירופאים באו לניו ג'רזי בעקבות איינשטיין, וביניהם איש האשכולות ההונגרי המבריק מאין כמוהו, ג'ון פון נוֹימָן, שהיה עתיד להתחיל בבניית המחשב הראשון בעולם בעודו במכון, למרבה חלחלתם של אותם חברים שהיו שותפים לשאיפתו של פלקסנר, לפטור את המכון מכל מלאכה "שימושית". אותה חריגה ראשונה של המכון אל מחוץ לתחום העבודה התיאורטית הטהורה נראתה "שלא במקומה", אפילו לאותם חברי סגל שהוקירו מאוד את המפעל עצמו, ככתוב בהיסטוריה הרשמית של בית־הספר למתימטיקה של המכון. (אחרי מותו של פון נוימן הועבר המחשב בחשאי לאוניברסיטת פרינסטון.)

אבל מכל הבאים בשערי המכון, אלברט איינשטיין הוא שזכה לאלמוות, עוד כשהיה חי ופעיל מאוד. רבים מבני התקופה ההיא סיפרו על "הַס של יראה" שהיה מושלך באולם הרצאות או בחדר סמינרים כאשר נכנס. פול בנאסרף, פילוסוף מפרינסטון שהיה בימיו של איינשטיין סטודנט מחקר באותה אוניברסיטה, סיפר לי שלפעמים היה איינשטיין משתתף בסמינר השבועי של ימי ו' בפילוסופיה. הוא מיעט בדיבור, ובכל זאת הייתה נוכחותו מורגשת, משום שהייתה זו נוכחותו שלו. איינשטיין היה התגלמות הגאונות, ותושבי העיר החלו - כמעט מיום הגיעו - לכנות את המכון של פלקסנר בשם "המוסד של איינשטיין".

ואמנם, הקשיש משני המטיילים בשביל היוצא מהמכון וחולף בין העצים אינו אלא המפורסם בתושבי פרינסטון, הוא ולא אחר, ושוב נראה על פניו אותו גיחוך יבש לשמע דבר־מה שאומר חברו לטיול במלוא הרצינות, כנראה. הצעיר, שעיסוקו בתחום הקרוי לוגיקה מתימטית, מגיב על תגובתו של איינשטיין בחיוך קלוש וחמוץ משלו, אבל ממשיך לפתח את ההשלכות של רעיונו, בדייקנות שדבר לא יזעזע אותה.

נושאי השיחות היומיות הללו משתרעים מפיסיקה למתימטיקה, מפילוסופיה לפוליטיקה, ובכל הנושאים הללו יוצאים מפיו של הלוגיקאי דברים שמדהימים את איינשטיין במקוריותם או בעמקותם, בתמימותם או במוזרותם הגמורה. חשיבתו כפופה כל־כולה ל"אקסיומה מעניינת" אחת, כלשונו של ארנסט גָבּוֹר שטראוס, עוזרו של איינשטיין מ־1944 עד 1947. לכל עובדה, יש בנמצא הסבר שמבהיר מדוע עובדה זו היא עובדה; מדוע היא חייבת להיות עובדה. אמונה עמוקה זו שקולה כנגד ביטחון בכך שאין שום מקריות סתמית בעולם, שכל דבר נתון חייב להיות נתון. במילים אחרות, בשום מקרה לא ידבר אלינו העולם, אפילו לא פעם אחת, כדרך שאֵם מותשת תדבר אל ילדיה: "למה? אני אגיד לכם למה. כי ככה אני אומרת!" תמיד יש לָעולם הסבר על עצמו, או כלשון חברו לטיול של איינשטיין, העולם ניתן להבנה.

המסקנות הנובעות מהיישום הדקדקני והעקבי של "האקסיומה המעניינת" הזאת לכל עניין שעולה על דעתו של הלוגיקאי - החל ביחסים בין גוף ונפש, עבור בפוליטיקה העולמית וכלה בפוליטיקה המקומית מאוד של המכון ללימודים מתקדמים - רחוקות במקרים רבים, ובמידה רבה, מחוות דעתו של השכל הישר; אבל הריחוק הזה חשוב בעיניו כקליפת השום. דומה הדבר כאילו הליכי החשיבה שלו מושתתים בין היתר על הכלל הבלתי־כתוב הזה: אם נפרדות דרכיהם של החשיבה והשכל הישר, אזי... אבוי לשכל הישר! אחרי ככלות הכול, מיהו שקבע כי השכל חייב להיות ישר?

שמו של הצעיר הזה ידוע להרבה פחות אנשים, בימיו שלו ובימינו שלנו. אבל עבודתו הייתה מהפכנית, בדרכה שלה, לא פחות מעבודתו של איינשטיין, ויש לשייכה לאותה קבוצה קטנה של תגליות קיצוניות ודקדקניות שנתגלו במאה שעברה, אלה שהשלכותיהן חרגו הרחק אל מחוץ לתחומיהן השונים וחלחלו אל מושגינו הבסיסיים ביותר. לפחות במסגרת המדעים המתימטיים, השליש הראשון של המאה העשרים הפיק מהפכות מושגיות כמעט דרך־שגרה. המשפט שניסח האיש הזה, לצד עקרון האי־ודאות של הייזנברג ועקרון היחסות של איינשטיין, הוא הרגל השלישית של חצובת התהפוכות התיאורטיות שזעזעו קשות את עצם יסודותיהם של "המדעים המדויקים". דומה כי שלוש התגליות האלה מעתיקות אותנו לעולם לא־מוּכּר, הפועל בניגוד להנחותינו הקודמות ולאינטואיציות שהיו לנו. מקץ מאה שנה, כמעט, אנו עדיין מתקשים לברר היכן בדיוק נחתנו.

מטבע הדברים - מטבעו המסוגר של האיש עצמו ומטבעהּ של עבודתו - לעולם לא יהיה בכוחו אפילו להתקרב למעמד המהולל שכבר זכו לו שותפו לטיולים בפרינסטון והוגה עקרון האי־ודאות, העוסק באותה שעה היסטורית עצמה, קרוב לוודאי, בפיתוח פצצה אטומית לשימושה של גרמניה הנאצית. שותפו לטיולים של איינשטיין הוא מהפכן נחבא אל הכלים. אולי ניתן לומר עליו שהוא אחד המתימטיקאים המפורסמים ביותר שמעולם לא שמעתם את שמם, מן הסתם. ואם שמעתם בכל זאת, רבים הסיכויים שאתם מקשרים אותו, שלא באשמתכם, עם רעיונות עוינים והרסניים למושגי הרציונליות, האובייקטיביות והאמת - רעיונות שהוא לא רק שלל מכול וכול, אלא אף חשב כי עלה בידו להסירם מעל הפרק אחת ולתמיד, בשיטות מתימטיות.

שמו קוּרט גֵדֶל, ובשנת 1930, כשהיה בן 23, הוא הציג הוכחה מופלאה בתחום הלוגיקה המתימטית, שנקראת לפעמים בשם משפט האי־שלֵמוּת; למעשה, הוא הגה שני משפטי אי־שלמות, הקשורים זה לזה בקשר לוגי.

בניגוד לרוב התוצאות המתימטיות, משפטי האי־שלמות של גדל מנוסחים בלי כל שימוש במספרים, או בפורמליזם סימבולי אחר. אמנם פרטי פרטיה של ההוכחה הם טכניים להחריד, אבל האסטרטגיה הכללית שלה, למרבה השמחה, אינה כזו. את שתי המסקנות המגיחות בסופו של דבר מתוך הזיקוקין די־נור הפורמליים אפשר לבטא בלשון פשוטה ושווה לכל נפש, פחות או יותר. הערך "משפט גדל" באנציקלופדיה לפילוסופיה נפתח בהצגה קצרה ונמרצת של שני המשפטים:

השם "משפט גדל" מתייחס בדרך־כלל לפסוק הבא:

בכל מערכת פורמלית שיש בכוחה להכיל את תורת המספרים, קיימת נוסחה לא־כריעה - כלומר, נוסחה שאינה ניתנת להוכחה, וששלילתה אינה ניתנת להוכחה. (יש המכנים פסוק זה בשם המשפט הראשון של גדל.)

כמסקנה של משפט זה, אי־אפשר להוכיח את עקביותה של כל מערכת פורמלית שיש בכוחה להכיל את תורת המספרים, במסגרתה של אותה מערכת. (יש המכנים מסקנה זו בשם משפט גדל; ואחרים מכנים אותה המשפט השני של גדל.)

פסוקים אלה הם הכללות, המנוסחות במידת־מה של ערפול, של תוצאות שפרסם קורט גדל ב־1931, כשהיה עדיין בווינה. ("על טענות לא־כריעות פורמלית במערכת פרינקיפיה מתימטיקה ובמערכות נלוות", התקבל לפרסום ב־17 בנובמבר 1930.)

גם אם קשה לנחש זאת על־סמך הניסוח המצומצם הזה של משפטי האי־שלמות, אלה הם משפטים יוצאי־דופן מכמה וכמה סיבות, וביניהן הכמות העצומה של דברים שהם אומרים. הם משתייכים לענף המתימטיקה הקרוי לוגיקה פורמלית או לוגיקה מתימטית, תחום שנחשב חשוד בעיני המתימטיקאים מאז ומתמיד - עד להישגו של גדל. למען האמת, בטרם הופיע גדל בזירה, רוב הלוגיקאים היו חברים דווקא במחלקות לפילוסופיה של אוניברסיטאותיהם.

סיימון קוֹצֶ'ן, לוגיקאי במחלקה למתימטיקה של אוניברסיטת פרינסטון, אמר לי כי "גדל הציב את הלוגיקה על מפת המתימטיקה. כל מחלקה למתימטיקה ראויה לשמה כוללת כיום לוגיקאים בסגל שלה. אולי רק אחד או שניים, אבל לפחות יש לה מישהו." אך משפטי גדל חורגים הרחק מעבר לגבולות תחומם הפורמלי הצר, ועוסקים בסוגיות סבוכות העומדות ברומו של עולם, כמו מהותם של האמת והידע והוודאות. הואיל וטבענו האנושי כרוך במהודק בכל דיון בסוגיות אלה - אחרי ככלות הכול, כשאנחנו מדברים על הידע אנו מדברים במובלע על היודעים - משפטי גדל אומרים כמדומה דברים חשובים מאוד על מהותה של נפשנו, מה יש בה ומה אין בה.

כמה הוגי־דעות מצאו במשפטי גדל שמן סיכה משובח לטחנת הפוסט־מודרניזם, השוחקת לאבק את הדרכים האבסולוטיסטיות הישנות של חשיבה על אמת ועל ודאות, על אובייקטיביות ועל רציונליות. אחד המחברים ביטא את התחושה הפוסט־מודרנית במונחים אסכטולוגיים ססגוניים: גדל "הוא השטן, מבחינת המתימטיקה. אחרי גדל, הרעיון כאילו המתימטיקה אינה רק שפתו של אלוהים, אלא גם שפה שאנחנו יכולים לפענח אותה כדי להבין את היקום ולהבין את הכול - הרעיון הזה פשוט אינו מתקבל עוד על הדעת. זהו חלק מהאי־ודאות הפוסט־מודרנית הגדולה שבה אנו חיים."

האי־שלמות הבלתי־נמנעת, המצויה אפילו במערכות החשיבה הפורמליות שלנו, ממחישה כי אין בנמצא שום יסוד מוצק שניתן לבנות עליו מערכת כלשהי. כל האמיתות - אפילו אלה מהן שנראו לפנים כה ודאיות, עד שנתפסו כחסינות מפני עצם המחשבה על תיקונן - הן מעושות, בעיקרו של דבר. בעצם, אפילו מושג האמת האובייקטיבית הוא אגדה, פרי של הַבנָיָה חברתית. נפשנו היודעת אינה מעוגנת בָּאמת. תחת זאת, רעיון האמת כולו מעוגן בנפשותינו, והן מצדן אינן אלא עושות־דברהּ הנרצעות של צורת השפעה ארגונית זו או אחרת. האפיסטמולוגיה אינה אלא הסוציולוגיה של הסמכות. כזוהי, פחות או יותר, הגרסה הפוסט־מודרנית של גדל.

הוגי־דעות אחרים טענו כי במה שנוגע לטבעה של נפש האדם, השלכותיהם של משפטי גדל מורות על כיוון שונה בתכלית. ראו, לדוגמה, את המתימטיקאי רוג'ר פֶּנרוֹז. בשני רבי־המכר שלו, הגיגי המלך החדשים וצללי הנפש, העמיד פנרוז את משפטי האי־שלמות במרכז טיעונו כי יהיו נפשותינו אשר יהיו, ברי שאין הן מחשבים ספרתיים. מה שמשפטי גדל מוכיחים, לטענתו, הוא שאפילו בחשיבתנו הטכנית ביותר, המחושקת בכללים נוקשים - כלומר, במתימטיקה - אנו עוסקים בתהליכים של גילוי אמת שאי־אפשר לצמצמם להליכים המכניים המתוכנתים במחשבים.

שימו לב, טיעונו של פנרוז, המנוגד בתכלית לפרשנות הפוסט־מודרנית שהוצגה לעיל, מכיר בכך שתוצאות גדל הותירו את הידע המתימטי שלנו בלי שום פגע, רובו ככולו. משפטי גדל אינם ממחישים את מגבלותיה של נפש האדם, אלא את מגבלותיהם של מודלים חישוביים של נפש האדם (בעיקרו של דבר, מודלים שמצמצמים כל חשיבה למילוי אחר כללים). אין הם משליכים אותנו למדמנה של אי־ודאות פוסט־מודרנית; נהפוך הוא, הם סותרים תיאוריה רדוקטיבית מסוימת בדבר הנפש.

ובכן, דומה שמשפטי גדל הם יצורים נדירים מאין כדוגמתם: אמיתות מתימטיות, שגם נדרשות - ולוּ גם בדרכים עמומות ושנויות במחלוקת - לשאלה המרכזית של מדעי הרוח: מה פשר היותנו אנושיים? אלה הם המשפטים הגורפים ביותר בתולדות המתימטיקה. גם אם יש מידה של אי־הסכמה בשאלות כמו כמה בדיוק הם אומרים, ומה בדיוק הם אומרים, אין ספק שהם אומרים הרבה מאוד, ומה שהם אומרים משתרע אל מעבר למתימטיקה - ודאי שאל המטא־מתימטיקה, אך אולי אף הלאה מזה.

למעשה, צביונם המטא־מתימטי של המשפטים כרוך במהודק עם העובדה שהאנציקלופדיה לפילוסופיה יכלה לנסח אותם בלשון שווה לכל נפש (פחות או יותר). מושגים כמו "מערכת פורמלית", "לא־כריע" או "עקביות" אולי נראים טכניים במקצת וטעונים פירוש (והפירוש יבוא, לכן אינכם צריכים לחשוש, אם הניסוח המצומצם הזה של המשפטים עדיין לא האיר את תוכנם די הצורך); אבל אלה הם מושגים מטא־מתימטיים, שהסברם (העתיד להינתן בבוא העת) אינו מנוסח בשפת המתימטיקה. מסקנות גדל הן משפטים מתימטיים שמצליחים להיחלץ מתוך המתימטיקה גרידא. הם מדברים גם מתוך המתימטיקה וגם מחוצה לה. זהו עוד היבט של הקסם המיוחד להם, ואת ההיבט הזה ניצל ספר פופולרי אחר, גדל, אֶשֶׁר, באך: מקלעת זהב נצחית מאת דאגלס הוֹפסטֶטֶר, שזכה בפרס פוליצר היוקרתי.

הקידומת מֶטָא לקוחה מיוונית, ופירושה "אחרי", או "מעבר ל־", כלומר מבט מבחוץ, כביכול. מטא־השקפה על תחום קוגניטיבי מציגה שאלות כגון: כיצד מסוגל התחום הזה של הידע לעשות את מה שהוא עושה? המתימטיקה, דווקא משום שהיא מיוחדת במינה - המחמירה מכל הדיסציפלינות - ומשום שהיא משתמשת בשיטות מלכתחיליות לביסוס תוצאותיה המדהימות לעתים, אבל הבלתי־ניתנות לערעור, הציגה מאז ומתמיד מטא־שאלות קשות בפני התיאורטיקאים של הידע (הקרויים "אפיסטמולוגים") - ובראשן השאלה כיצד היא מסוגלת לעשות את מה שהיא עושה. ודאותה של המתימטיקה, החסינות המעין־אלוהית מפני טעות שהיא מאצילה על יודעיה, נתפסה בעיני רבים כמופת שיש לחקותו: אם אנו יכולים לעשות זאת כאן,

הבה נעשה זאת בכל שאר המקומות. זוהי האפיסטמולוגיה האוטופית שהייתה כה אופיינית לרציונליסטים של המאה השבע־עשרה - רנה דקארט (1596-1650), ברוך שפינוזה (1632-1677) וגוטפריד וילהלם לייבניץ (1646-1716). שפינוזה ולייבניץ, במיוחד, האמינו כי אפשר ליטול את אמות־המידה של המתימטיקאים ואת שיטותיהם ולהכלילן, על־מנת שיוכלו להשיב על כל השאלות שאנו מציגים: במדע, באתיקה ואפילו בתיאולוגיה. מכאן ואילך, כל אימת שיתעוררו מחלוקות תיאולוגיות מעין אלה שדחפו עמים למלחמות ממושכות ועקובות מדם, יוכלו אנשי הבּינה לומר: "ובכן, מוטב שניגש לזאת כבעיה של היסק מלכתחילי."

אך בה בעת, הייתה זו גם חידה האומרת דרשני: הכיצד יכולים אנו לעשות זאת, במתימטיקה או בכל מקום אחר? כיצד מסוגלים יצורים כמונו, מוצרי פרפוריה העיוורים של האבולוציה, להגיע למדרגה כלשהי של אי־טעות? כדי להתמודד עם החידה הזאת, ראוי לזכור את הדברים המפורסמים שאמר גראוצ'ו מרקס על כך שאין הוא מוכן להיות חבר במועדון שמוכן לקבל לשורותיו אנשים כמוהו. בדומה לכך, היו שתהו: אם המתימטיקה באמת ודאית עד־כדי־כך, כיצד יכולים יצורים כמונו לדעת אותה? כיצד זכינו בכרטיס חבר במועדון קוגניטיבי כה מסוגר?

מטא־שאלות על תחום כלשהו, כגון מדע או מתימטיקה או משפטים, אינן בדרך־כלל שאלות שמוּכלות בתוך התחום עצמו; אין אלה שאלות מדעיות, מתימטיות או משפטיות, בהתאמה. תחת זאת הן מקוטלגות כשאלות פילוסופיות, שמקומן הוא בפילוסופיה של המדע, של המתימטיקה או של המשפט, בהתאמה. משפטי גדל הם יוצאים־מן־הכלל מזהירים לכלל הגורף הזה. הם מתימטיים ומטא־מתימטיים בעת ובעונה אחת. יש בהם כל הדקדקנות של משהו שמוכח מלכתחילה, ועם זאת הם מבססים מטא־מסקנה. דומה הדבר למי שצייר תמונה המצליחה להשיב על השאלות הבסיסיות של האסתטיקה; ציור נוף או דיוקן שמביע את מהותו הכללי של היופי, ואולי אף מצליח להסביר מדוע הוא נוגע ללבנו בדרך שכזו. הרי זה פלא פלאים, אם תוצאה מתימטית מסוגלת לומר משהו, כל דבר שהוא, על מהותה של האמת המתימטית בכלל.

שני משפטיו של גדל נדרשים לאותה סוגיה עצמה שייחדה את המתימטיקה מאז ומתמיד: הוודאות, החסינות מכל פגע, המלכתחיליות. האם משליכים אותנו המשפטים האלה אל מחוץ למועדון הקוגניטיבי היוקרתי ביותר באפיסטמולוגיה? האם הם מקעקעים את טענתנו כי אנו מסוגלים להשיג, לפחות בתחום המתימטיקה, ודאות מושלמת? או שמא הם מתירים לנו להישאר חברים מן השורה במועדון? גדל עצמו, כפי שעוד נראה, החזיק בדעות תקיפות ביותר במטא־שאלה זו, אשר עמדו בניגוד חריף לפרשנויות המקושרות בדרך־כלל לעבודתו.

בעיני גדל ואיינשטיין כאחד, מטא־שאלה זו, כיצד יש לפרש את המתימטיקה ואת הפיסיקה, בהתאמה - מהו הדבר שהצורות החזקות הללו של ידע עושות בעצם, וכיצד הן עושות זאת - ניצבה בלב לבה של עבודתם הטכנית. גם איינשטיין החזיק במטא־אמונות תקיפות ביותר ביחס לפיסיקה. ביתר פירוט, המטא־אמונות של איינשטיין ושל גדל נדרשו לשאלה האם תחומי עיסוקם הם תיאורים של מציאות אובייקטיבית - הקיימת בלי תלות בחשיבתנו עליה - או שמא אלה השלכות אנושיות סובייקטיביות, הבניות אינטלקטואליות שהן נחלתה של החברה הרחבה.

החשיבות שייחס כל אחד מהשניים הללו לאותן מטא־שאלות, די היה בה כשלעצמה להרחיקם מעל רוב העוסקים בתחומיהם. לא זו בלבד שהשניים גילו עניין עמוק ברמת המטא, הם גם שאפו - וזה יוצא־דופן עוד יותר - להגיע לכך שעבודתם הטכנית תשפוך מטא־אור. למען האמת, השאיפה שניעורה בגדל עוד כשהיה סטודנט לתואר ראשון באוניברסיטת וינה, הייתה להקדיש את עצמו אך ורק למתימטיקה שיהיו לה השלכות פילוסופיות רחבות יותר.

הרי זו מטרה קשה באמת ובתמים, שאפתנות בעלת ממדים היסטוריים, במובן ידוע, ואחד ההיבטים המדהימים ביותר של סיפור חייו הוא פשוט זה: האיש הצליח להשיג את המטרה אשר הציב לעצמו. אפשר שהשאיפה רבת־הקשיים הזאת, שנותרה עמו כל ימי חייו, הגבילה את כמות העבודה שעשה; אבל היא גם גרמה לכך שכל מה שעשה בכל זאת, היה עמוק מני חקר. איינשטיין, שאמנם לא החמיר עם עצמו כמו גדל, עדיין היה שותף לאמונתו כי מדע טוב באמת, לעולם אינו גורע את עיניו מהשאלות הפילוסופיות הרחבות יותר: "מדע בלי אפיסטמולוגיה - אם אפשר להעלותו בכלל על הדעת - הוא מדע פרימיטיבי ומבולבל.

הידידות בין איינשטיין וגדל סיפקה ועודה מספקת חומר רב לאגדות ולספקולציות. מדי יום ביומו עשו השניים את הדרך אל המכון וממנו, ואחרים צפו בהם בסקרנות ותהו מה טיבם של הדברים המרובים כל־כך שיש להם לומר איש לרעהו. ארנסט גבור שטראוס, לדוגמה, כתב:

שום סיפור על איינשטיין בפרינסטון לא יהיה שלם אם לא יזכיר את ידידותו החמימה באמת ובתמים וההדוקה מאוד עם קורט גדל. הם היו אנשים שונים מאוד זה מזה, מאוד, אבל איכשהו הם הבינו היטב זה את זה והעריכו מאוד איש את רעהו. פעמים רבות אמר איינשטיין שהוא חש כי אסור לו להיעשות מתימטיקאי, משום ששפע הבעיות המעניינות והמצודדות גדול עד־כדי־כך שיכול אדם ללכת לאיבוד ביניהן, בלא שיעלה בכפו אפילו דבר אחד שיש לו חשיבות אמיתית. בפיסיקה, הוא היה מסוגל לראות מה הן הבעיות החשובות, ומכוח אופיו ועקשנותו, היה בכוחו לחתור לפתרונן.

אבל הוא אמר לי פעם, "עכשיו, משהכרתי את גדל, אני יודע שהדבר הזה קיים גם במתימטיקה." לגדל, כמובן, הייתה אקסיומה מעניינת ששימשה אותו להתבוננות בעולם: שום דבר ממה שקורה בו אינו נובע ממקריות או מטיפשות. אם מתייחסים לאקסיומה זו ממש ברצינות, כל התיאוריות המשונות שגדל האמין בהן נעשות הכרחיות לחלוטין. ניסיתי לקרוא תיגר עליו כמה פעמים, אבל לא הייתה שום דרך לעשות זאת. כוונתי לומר, כולן כאחת נבעו מהאקסיומות של גדל. לאיינשטיין זה לא היה אכפת במיוחד, ולמעשה הוא מצא את הדבר משעשע למדי. מלבד פעם אחת, ב־1953, שאז ראיתי אותו בפעם האחרונה. הוא אמר לי, "אתה יודע, גדל השתגע לגמרי, סופית." ואני אמרתי, "באמת? מה הוא כבר עשה?" ואיינשטיין אמר, "הוא הצביע בעד אייזנהאואר."

מהתנסחותו של שטראוס משתמעת תהייה מסוימת, לאמור, מה מצאו בכלל השניים הללו זה בזה. וביתר פירוט, מה מצא הפיסיקאי רב־החוכמה בלוגיקאי הנוירוטי. איינשטיין, כתב שטראוס, היה "איש רעים להתרועע, שמח בחלקו, מלא צחוק ושכל ישר." גדל, לעומת זאת, היה "רשמי ומסוגר מאין כמוהו, רציני מאוד, מתבודד גמור ומלא חשדנות בשכל הישר כאמצעי להגעה אל האמת."

איינשטיין שמִן האגדות - בעל השיער הפרוע והדעת הפזורה, שאימץ אל לבו כמו דון קיחוטה בשעתו את האידיאולוגיה הפוליטית של עולם אחד, ועוד מטרות אבודות - אינו מוצג על־פי־רוב כאיש העולם הגדול, הבקיא בהליכותיו; אך בהשוואה לגדל, כזה היה. רוב אנשי פרינסטון, ואפילו עמיתיו המתימטיקאים, ראו את גדל בעל "האקסיומה המעניינת", שסיבכה לאין שיעור כל דיון וכל החלטה מעשית, כאדם שכמעט אי־אפשר לדבר איתו. כפי שכתב המתימטיקאי ארמאן בּוֹרֶל בחיבורו על תולדות בית־הספר למתימטיקה של המכון, לפעמים מצאו הוא ואחרים "את ההיגיון של יורשו זה של אריסטו... תמוה לגמרי." בסופו של דבר התקינו המתימטיקאים פתרון לבעיית גדל; הם הרחיקו אותו מישיבותיהם והפכו אותו למחלקה של איש אחד: ניתנה לו הזכות הבלעדית לקבל החלטות בכל עניין שנוגע אך ורק ללוגיקה.

ודאי, תושבי פרינסטון היו מורגלים למדי לאקצנטריות, ולמדו שלא להביט בעין עקומה על טיפוסים לבושי בלואים שבהו במבטים נבובים (או נבובים למראית־עין) אל תוך המרחב־זמן. ובכל זאת נחשב קורט גדל בעיני כל יודעיו, כמעט, לטיפוס משונה באמת ובתמים, המעמיד אתגר כביר בפני כל שיחת חולין. גדל היה מסוגר בעצמו; אבל כאשר דיבר בכל זאת, השמיע פעם אחר פעם דברים שלא תיתכן עליהם שום תשובה בכלל.

ג'ון בָּקָל היה אסטרופיסיקאי צעיר ומבטיח כשהוצג בפני גדל בארוחת ערב צנועה במכון. הוא זיהה את עצמו כפיסיקאי, ועל כך השיב גדל חד וחלק, "אינני מאמין במדעי הטבע."

הפילוסוף תומס נֵייגְל סיפר גם הוא כיצד הושיבו אותו ליד גדל בארוחת ערב למספר קטן של אורחים במכון, והוא החל לשוחח עמו על בעיית הגוף והנשמה, אגוז קשה ששניהם ניסו לפצחו. נייגל אמר לגדל כי את עמדתו הדואליסטית הקיצונית (של גדל; לפי עמדה זו, לנשמות ולגופים יש קיום נפרד לחלוטין, והם מתקשרים אלה לאלה עם הלידה במין שותפות שמתפרקת עם המוות), דומה שקשה ליישב עם תורת האבולוציה. גדל הבהיר כי אינו מאמין באבולוציה, ואף הוסיף והפטיר, כמין חיזוק נוסף לשלילתו את תורת דארווין: "דע לך, גם סטלין לא האמין באבולוציה, והוא היה איש נבון מאוד."

"אחרי ששמעתי את זה," אמר לי נייגל וצחקק, "פשוט השתתקתי."

זה המקום להעיר כי אם יורדים לסוף דעתו של גדל, נקל להבין את איבתו לתורת האבולוציה. כרציונליסט, גדל ביקש להשמיד כל זכר למקריות ולאקראיות, ואילו הברירה הטבעית מסתמכת על אקראיות ומקריות כגורמים מסבירים בסיסיים. ברמת המיקרו־אבולוציה (שינויים מדור לדור), התיאוריה מעניקה תפקיד מרכזי למוטציות אקראיות ולשִׁחלוּפים מקריים. ברמת המאקרו־אבולוציה (דפוסים בתולדות החיים), היא מעניקה תפקיד מרכזי למקריות ההיסטורית, כגון גחמות הגיאולוגיה והאקלים, או אירועים מזדמנים כמו פגיעת המטאוריט בכדור הארץ שהחשיכה את עין השמש, הכחידה את הדינוזאורים, ואִפשרה ליונקים שלא היו גדולים אז מעכברים להשתלט על הגומחות האקולוגיות שהתפנו.

הבלשן נועם חומסקי סיפר גם הוא כיצד שיטח אותו גדל אפיים ארצה במהלומה לשונית אחת. חומסקי שאל אותו במה הוא עוסק כרגע, ושמע תשובה שאיש לא זכה לשמוע, מן הסתם, מאז ימיו של לייבניץ בן המאה השבע־עשרה: "אני מנסה להוכיח כי חוקי הטבע הם מלכתחיליים."

הרי לכם שלושה ענקי רוח משכמם ומעלה, איש־איש מהם שרוי כדג במים בעולם הרעיונות הטהורים, ובכל זאת דיווחו שלושתם כיצד נקלעו למבוי סתום, חסר־מוצא, בשיחותיהם עם גדל על רעיונות. והם לא היו היחידים.

גם איינשטיין נתקל שוב ושוב, בטיוליהם היומיים אל המכון וממנו, בדוגמאות לאינטואיציות המשונות של גדל, ל"אנטי־אמפיריציזם" המושרש שלו. למרות זאת ביקש איינשטיין בהתמדה את חברתו של הלוגיקאי, כפי שסיפר הכלכלן אוסקר מורגנשטרן, שהכיר את גדל עוד בווינה. מורגנשטרן נמלט מאוסטריה כשהשתלטו עליה הנאצים, והגיע למכון. אף שהיה כלכלן, הוא גם היה מתימטיקאי בעל שיעור קומה - הוא היה שותפו של פון נוימן בייסודהּ של תורת המשחקים - ומשום כך זכה להיכנס בשערי מכונו של פלקסנר.

במכתב אישי כתב מורגנשטרן: "פעמים רבות אמר לי איינשטיין שבשנות חייו האחרונות, הוא ביקש תמיד את חברתו של גדל על־מנת לשוחח עמו. פעם אמר לי שעבודתו שלו אינה חשובה עוד במיוחד, ושהוא בא למכון רק על־מנת שתהיה לו הזכות הגדולה ללוות את גדל הביתה." אפילו על רקע העניין המשותף שלהם במטא־רמות של תחומיהם השונים, שבועת האמונים הזאת של איינשטיין נראית מופרזת ביותר.

אשר לגדל עצמו, מכתביו לאמו מריאנֶה שנשארה באירופה (התכתובת הזאת היא המספקת לנו את מעט המידע שיש לנו על חייו, עד למותה ב־1966), מזכירים את איינשטיין לעתים תכופות. אם איינשטיין הבא־בימים הצטרף למכון רק על־מנת שתהיה לו הזכות ללוות את גדל הביתה, הנה לגדל פשוט לא היה שום אדם בעולם לשוחח עמו, לפחות לא כפי שהיה יכול לשוחח עם איינשטיין (ובלעדיותם של היחסים הללו צובטת את הלב, אם נזכור שגדל היה נשוי). למשל, ב־4 ביולי 1947 כתב לאמו שאיינשטיין קיבל מרופאיו הוראה לצאת לחופשת החלמה. "ובכן, עכשיו אני בודד לגמרי, וכמעט איני מדבר עם שום אדם בארבע עיניים."

הייתה זו תעלומה קטנה לכל מי שצפו ביחסים ההדוקים בין השניים, והיא עדיין עומדת בעינה. " מדי יום הייתי רואה אותם הולכים בשביל מבית פולד לאולדן פארם," סיפר לי איש המכון ארמאן בורל יליד שווייץ, שהגיע לפרינסטון זמן־מה אחרי גדל, "ואין לי מושג על מה הם דיברו. קרוב לוודאי שהם דיברו על פיסיקה, כי גם גדל התעניין בפיסיקה, דעי לך." ואמנם, גדל סיפק פתרון מקורי מאוד למשוואות השדה של תורת היחסות הכללית של איינשטיין, והגיש אותו לאיינשטיין כשי, כהפתעה לכבוד יום הולדתו השבעים. בפתרונו זה של גדל (המתואר בפרק 4), הזמן הוא מחזורי. "בכל אופן," המשיך בורל, "הם לא רצו לדבר עם שום אדם אחר. הם רק רצו לדבר זה עם זה," סיכם במשיכת כתף.

המבקשים להבין את היחסים בין איינשטיין וגדל, המנסים להציץ אל מעבר לתיאורו מלא התמיהה של שטראוס, "איכשהו הם הבינו היטב זה את זה," חשוב מאוד שלא יסתפקו בהסבר הקל והנוח, לאמור שהשניים היו שווים זה לזה במדויק במישור האינטלקטואלי, שהם היו "'מין טבעי' בעל שני חברים, הכולל את 'הפילוסופים של הטבע' הדגולים ביותר של המאה." אלה הן מילותיו של הָאוֹ וָאנג (1921-1995), הלוגיקאי מאוניברסיטת רוקפלר שקיבל על עצמו להבין את השקפותיו של גדל על כל דבר תחת השמש, החל בטיבה של אינטואיציה מתימטית וכלה בגלגולי נשמות, וחיבר שלושה ספרים מתוך החומר שאסף. אבל אין די בכך. אפשר לומר הרבה יותר דברים על הזיקה בין השניים, מעבר לחברות המשותפת בקבוצה כה אקסקלוסיבית.

ישנם כמובן, קווי הדמיון השטחיים. לדוגמה, העובדה ששניהם עשו את עבודתם החשובה ביותר באירופה המרכזית, בארצות דוברות הגרמנית שמהן נאלצו לברוח. אבל במובן הזה, לפחות, איינשטיין וגדל בפירוש לא היו יחידים במינם בפרינסטון של אותם ימים. מלומדים נסו בזה אחר זה מווינה ומגטינגן ומבודפשט למקומות כמו פסדינה ופרינסטון. העובדה שהם היו גולים פוליטיים, ששפת אמם הייתה אחת ושהם מצאו את עצמם מטיילים בנוף הבלתי־מתקבל על הדעת של פרברי ניו ג'רזי, ודאי שאין בה שום תרומה של ממש להסברת הקשר המיוחד ביניהם, שהפליא אפילו את חבריהם הפליטים.

יש עוד קווי דמיון מובהקים בין השניים. למשל, העובדה ששניהם עשו את עבודתם החשובה ביותר כשהיו צעירים לימים. איינשטיין היה בן 26 ב־1905, שנת הפלאות שלו. הוא היה אז פקיד אלמוני במשרד הפטנטים בברן שבשווייץ, ופרסם באותה שנה את מאמריו על תורת היחסות (הפרטית), על הקוואנטיזציה של האור ועל התנועה הבראונית, וחוץ מזה השלים את עבודת הדוקטורט שלו. תוצאותיו של גדל (שהיו אף הן שלוש במספר: החשובה מביניהן, הזוהרת מכל היתר, הייתה משפט האי־שלמות הראשון; אבל הוא פרסם בשנים 1929-1930 גם את משפט האי־שלמות השני ואת הוכחת שלמותו של תחשיב הפּרֶדיקָטים) הושגו שלוש שנים לפני שהגיע לאותו גיל.

חשובה יותר מהדמיון הזה בפרטים ביוגרפיים היא העובדה שכל אחד מהם השתעשע בגיל צעיר עוד יותר במחשבה על כניסה לתחומו של חברו. גדל בא לאוניברסיטת וינה מתוך כוונה ללמוד פיסיקה, ואילו איינשטיין חשב בתחילה להיות מתימטיקאי. במובן ידוע, איש־איש מהם ראה בחברו התגשמות של מה שהיה יכול הוא עצמו להיות אילו בחר בחירה אחרת, ואין ספק שיש קסם מסוים בראיית הדברים ברוח זו.

ועדיין, הדברים שקישרו אותם איש לרעהו היו רבים עוד יותר מזה. אני מבקשת להציג את טענתי כי הסיבה להבנה העמוקה ולהוקרה שהתקיימו בין אותם "אנשים שונים מאוד זה מזה, מאוד," נעוצה ברמה הבסיסית ביותר של רעיונותיהם המהפכניים. הם היו אחים לנשק במשמעות העמוקה ביותר שיכולה להיות למושג זה, כשמדובר באנשי רוח. שניהם היו מסורים להבנת המציאות, ולהבנת מקומה של עבודתו של כל אחד מהם ביחס למציאות הזו, שהביאה אותו לכלל עימות כאוב עם הקהילה הבינלאומית של אנשי רוח.

היה אפשר לחשוב כי אחרי שהציג כל אחד מהם תוצאות כה מיוחדות במינן, כה מהפכניות, היו תחומיהם של השניים אנוסים לבנות את עצמם מחדש סביב התוצאות הללו, שניצבו מעתה במרכזיהם; אם כן, כיצד ייתכן שאיינשטיין וגדל חשו את עצמם, שניהם כאחד, דחוקים לשוליים? הרי לא לשכמותם נועדו תחושות של ניכור, דחייה, זלזול ובידוד, אלא לחסרי־ההשפעה ולנכשלים. ואף־על־פי־כן הם חשו עצמם כקורבנות של דחייה ואפילו של זלזול, ויתרה מזו, הדחייה והזלזול היו דומים במובנים עמוקים מאוד, במטא־רמות של תחומיהם, ברמות שבהן מתפרשת המשמעות של כל זה.

ישנו אם כן מובן מסוים, עד כמה שהצלחתי לחדור אל ליבת הידידות הזאת שהפליאה את כל רואיה, שבו איינשטיין וגדל היו שותפים לגלות בתוך גלות, והמובן הזה חורג הרחק מעבר לתנאים הגיאופוליטיים שהביאו אותם לבקש מקלט בפרינסטון שבניו ג'רזי. אני סבורה שהם היו אחים לגלות במובן העמוק ביותר שבו יכול איש רוח להיות גולה. גם אם מוזר לומר זאת על אנשים כה מהוללים בזכות תרומותיהם, הם היו גולים אינטלקטואליים.

כדי לרדת לעומקה של תחושת הבידוד המשותפת הזאת, שהייתה הדבק לידידותם המפורסמת, צריך לעיין במטא־אמונות שניכרו אותם מעל עמיתיהם. כיצד עלינו לפרש, במונחי השאלות הפילוסופיות הרחבות ביותר, את תורת היחסות של איינשטיין ואת משפטי האי־שלמות של גדל? כיצד פירשו את יצירות המופת הללו של המחשבה האנושית מחבריהן, וכיצד פירשו אותן אחרים?

משפטי האי־שלמות של גדל. תורות היחסות של איינשטיין. עקרון האי־ודאות של הייזנברג. השמות עצמם מפתים, גדושים ברמיזות, מחדירים כמדומה גורם אנושי רך למדעים הקשים, אולי אף רומזים כי הגורם האנושי גובר על אותן מערכות שדייקנותן כה מחמירה, המתימטיקה והפיסיקה התיאורטית, מטשטש אותן בערפילי העמימות והסובייקטיביות שלנו עצמנו. העדפת הסובייקטיביות על־פני האובייקטיביות - העדפת אורחות חשיבה בנוסח "רק־המחשבה־היא־העושה־את־הדברים־כפי־שהם," או "האדם־הוא־מידת־כל־הדברים" - היא נימה רעיונית מובהקת, ואפילו שלטת, בחיים האינטלקטואליים והתרבותיים של המאה העשרים.

עבודותיהם של גדל ואיינשטיין - המוכרות כמהפכניות על דעת הכלל, והנושאות את השמות מרובי־הרמיזות הללו - נכרכות בדרך־כלל יחדיו, בתוספת עקרון האי־ודאות של הייזנברג, ברשימת הסיבות המשכנעות ביותר שמספקת לנו החשיבה המודרנית לדחייתו של "מיתוס האובייקטיביות". הפרשנות הזאת של אותו חוט משולש, היא עצמה נעשתה חלק מהמיתולוגיה המודרנית - או ביתר דיוק, הפוסט־מודרנית.

המחזאי מייקל פרֵיין, לדוגמה, מחבר המחזה קופנהגן שהוצג לראשונה ב־1988 וזכה לשבחים רבים, לא רק תיאר (כהלכה) את הפיסיקאים נילס בּוֹר וּורנר הייזנברג כמתנגדי הסברה כאילו הפיסיקה היא תיאור של מציאות פיסיקלית אובייקטיבית, אלא גם זיהה (שלא כהלכה) את תורת היחסות של איינשטיין, כצעד הראשון שעשתה הפיסיקה המודרנית לעבר אותה שלילה שאין למעלה ממנה:

בור: [מכניקת הקוואנטים] פועלת, כן. אבל יש משהו חשוב יותר מזה. כי אתה צריך לראות מה עשינו בשלוש השנים האלה, הייזנברג. מבלי להגזים, הפכנו את העולם מבפנים החוצה. כן, שמע לי, הנה זה בא, הנה זה בא... החזרנו את האדם למרכז היקום. במשך כל ההיסטוריה אנחנו מוצאים את עצמנו נדחקים שוב ושוב. אנחנו מָגלים את עצמנו שוב ושוב לשולי הדברים. קודם כול אנחנו הופכים את עצמנו לסתם סרח־עודף של תכלית אלוהית שנבצרת מיכולת ההשגה שלנו. דמויות זעירות, כורעות ומשתחוות בקתדרלה הגדולה של הבריאה. ומיד לאחר שהתחלנו להתאושש, ברנסאנס, מיד לאחר שהאדם נעשה, כפי שהכריז עליו פּרוֹטָגוֹרָס, מידת כל הדברים, דחקנו אותו שוב הצדה באמצעות מוצרי החשיבה שלנו עצמנו! שוב גימדנו את עצמנו, בעוד הפיסיקאים בונים את הקתדרלות הגדולות והחדשות שהשתוממנו עליהן - חוקי המכניקה הקלאסית שקדמו לנו מראשית הנצח, שיישארו אחרינו עד קץ הנצח, שקיימים אם אנו קיימים ואם לאו. עד שאנו מגיעים לתחילת המאה העשרים, ופתאום אנחנו נאלצים לקום שוב מכריעתנו.

הייזנברג: זה מתחיל באיינשטיין.

בור: זה מתחיל באיינשטיין. הוא מראה שהמדידה - המדידה, שבה תלויה עצם אפשרותו של המדע - המדידה אינה אירוע בלתי־אישי שמתרחש באוניברסליות חסרת פניות. זהו מעשה אנושי, שנעשה מתוך נקודת־ראות מסוימת בזמן ובמרחב, מנקודת־הראות האחת והמיוחדת של משקיף אפשרי. ואחר־כך, כאן בקופנהגן באותן שלוש שנים באמצע שנות העשרים, אנחנו מגלים שאין בנמצא שום יקום אובייקטיבי שניתן לפרט אותו בדייקנות. שהיקום קיים רק כסדרה של קירובים. רק במסגרת הגבולות שמכתיבים יחסינו עמו. רק מתוך ההבנה השוכנת בתוך ראש האדם.

משפטי האי־שלמות של גדל, בדומה לתורת היחסות של איינשטיין, נתפסו כבעלי מקום נישא ורם במהפכה האינטלקטואלית שהתנהלה במאה העשרים נגד האובייקטיביות והרציונליות. לדוגמה, בספר פופולרי על פילוסופיה מאת ויליאם בָּרֶט, האדם האי־רציונלי: מחקר בפילוסופיה אקזיסטנציאליסטית, שראה אור ב־1962 - עוד בימי חייו של גדל (ושהכריחו אותי לקוראו בקיץ שלפני כניסתי למכללה) - הוצב גדל ליד הוגי־דעות כמו מרטין הַיידֶגֶר (1889-1976) ופרידריך נִיטשֶה (1844-1900), מחריבי אשליותינו על רציונליות ואובייקטיביות:

בהשוואה לעקרון האי־ודאות של הייזנברג ולעקרון ההשלמה של בור, לממצאיו של גדל היו השלכות מרחיקות־לכת עוד יותר, כמדומה, אם נזכור כי במסורת המערבית, מאז ימי הפיתגוראים ואפלטון, המתימטיקה כמופת ההתנסחות הבהירה הייתה מעוזו הראשי של הרציונליזם. והנה התברר כי אפילו במדע המדויק ביותר שלו - במחוז שבו נראתה הבּינה כול־יכולה - אין האדם יכול להימלט מסופיותו המהותית; כל מערכת מתימטית שהוא בונה, נגזרת עליה אי־שלמות. גדל הראה שיש במתימטיקה בעיות בלתי־פתירות, ומשום כך לא תיתכן לעולם פורמליזציה של מערכת שלמה כלשהי... כיום יודעים המתימטיקאים שלעולם לא יעלה בידם להגיע אל התשתית הבסיסית ביותר; למעשה, אין שום תשתית בסיסית בכלל, כי אין למתימטיקה ממשות של קיום עצמי, אשר אינה תלויה בפעילות האנושית שמבצעים המתימטיקאים.

ברט הציג נכונה את משפט האי־שלמות (הראשון), שלפיו לא ייתכן לעולם ניסוח פורמלי של המתימטיקה במערכת שלמה כלשהי. והמסקנה הפילוסופית שהסיק ממנו עלתה היטב בקנה אחד עם המגמות האינטלקטואליות האופנתיות ביותר של המאה העשרים. לכן אולי יופתעו הקוראים לשמוע כי גדל עצמו מעולם לא הסיק מסקנה מעין זו. למען האמת, אם נחליף את המילים "אין למתימטיקה" (שלפני "ממשות של קיום עצמי") בהיפוכן הישיר, "יש למתימטיקה", אזי נקבל ביטוי מדויק של השקפתו המטא־מתימטית של גדל עצמו - השקפה שנמצאה ביסוד כל עבודתו המתימטית, ובכלל זה משפטי האי־שלמות המפורסמים שלו.

גם אם נמצאו מאורות אינטלקטואליים שונים אשר פירשו את גדל כעצם מעצמיה של ההתקוממות הגדולה נגד האובייקטיביות והרציונליות, שאפיינה חלק ניכר מהחשיבה של המאה העשרים, לא זו הייתה הפרשנות שנתן גדל עצמו לתוצאותיו המהפכניות. ובאותה המידה של תקיפות ניתן לומר את הדברים האלה על איינשטיין. האמת היא ששניהם האמינו בלב ובנפש באובייקטיביות, ופירשו את העבודות המפורסמות ביותר שלהם כתמיכה פוזיטיבית בעמדה הזאת, בעודה הולכת ונעשית בלתי־פופולרית. שעה שרבים וטובים מבין האינטלקטואלים פנו לדרך הסובייקטיביזם - ואף ציינו כי ההישגים הגדולים של תורת היחסות ושל משפטי האי־שלמות הם שהִפנו אותם אליה - איינשטיין וגדל לא נהגו כך.

איינשטיין וגדל היו רחוקים שניהם, כרחוק מזרח ממערב, מתמיכה בעמדה הסופיסטית הישנה־נושנה, "האדם הוא מידת כל הדברים." בעיני שניהם, המתודולוגיה של תחומיהם - התערובות המסובכות של חשיבה הגיונית, הכוללות גם אינטואיציה וגם הקשה (ובמה שנוגע לפיסיקה, גם תצפית) - לא הייתה קבוצה של כללים שרירותיים המושלים במשחק נפשי או לשוני, מתוחכם אך מעושה, משחק שהיה יכול באותה מידה עצמה להתנהל לפי קבוצות אחרות לגמרי של כללים, ולהוליך להבניה שונה לגמרי של המציאות. לא ולא, בעיני שניהם, אלה היו הכללים שהוליכו את נפשנו אל מעבר למוגבלויותיה של ההתנסות האישית, ופתחו לפניה את השער אל היבטים של המציאות שאי־אפשר לדעת אותם בלעדי הכללים הללו.

בידודו העמוק של איינשטיין מעל עמיתיו המדענים הוא מן המפורסמות (כשם שהוא מן הלא־מובנות), בדומה לרוב ההיבטים האחרים של קורות חייו המפוארות. לעתים קרובות מסבירים אותו כנובע מסירובו הנרגן להשלים עם התקדמותה המהפכנית של מכניקת הקוואנטים, ובמיוחד עם טבעה הסטוֹכָסטי מעיקרו, הכולל מרכיב של מקריות טהורה שאי־אפשר להיפטר ממנו. כפי שנהוג לספר את הסיפור, אחרי שחולל איינשטיין את המהפכה המושגית שלו בגיל צעיר, בתורות היחסות שלו - הפרטית והכללית - הוא נכנס כדרך הקשישים להלוך־רוח שמרני שלא היה מסוגל להטמיע את המהפכות של הדור הבא, אף־על־פי שהיו אלה רק הרחבותיה ההגיוניות של המהפכה שלו. גם הניסוח הזה של סיפור איינשטיין הוא חלק מהמיתולוגיה האינטלקטואלית של המאה העשרים.

אבל אין הוא מדויק. בשורש ניכורו המדעי של איינשטיין נמצאה דחייתו את התפנית הסובייקטיביסטית, זו שעליה הכריז המחזאי מפי דמויותיו, "זה מתחיל באיינשטיין." איינשטיין לא הבין את תורת היחסות שלו כתמרור דרכים המצביע על פרשנות סובייקטיביסטית לפיסיקה, אלא כהצבעה על הכיוון ההפוך בדיוק. "יחסות", כפי שהיא מופיעה בתורת איינשטיין, משמעותה הרבה יותר טכנית והרבה יותר מוגבלת מאשר התפיסה כאילו המדידה (ולפיכך כל דבר אחר) היא יחסית לנקודת־הראות האנושית. בתורת היחסות הפרטית, מדידותיהן של תכונות (כמו אורך, למשל) הן יחסיות למערכת קואורדינטות מסוימת, למסגרת ייחוס כלשהי. אבל הפיכת המונחים הטכניים האלה - מערכת קואורדינטות, מסגרת ייחוס - לרעיון נקודת־הראות האנושית, היא... אין דרך אחרת לומר זאת: היא אווילית.

יש לנו מבחר של מערכות קואורדינטות שונות לתיאור תנועתו של דבר־מה, ולפי תורת היחסות, כל מערכות הקואורדינטות שוות אלה לאלה; אף לא אחת מהן היא מיוחסת. במערכת קואורדינטות אחת, "משקיף" (שאינו חייב כלל להיות ישות מוּדעת, ולכן אינו חייב להשקיף פשוטו כמשמעו, או אפילו להיות מסוגל להשקיף על משהו) יהיה שרוי במנוחה; במערכת אחרת, הוא יהיה שרוי בתנועה. לרוב, הרי זה אך טבעי (אם כי לא מחויב המציאות) לבחור במערכת קואורדינטות שבה כדור הארץ, לדוגמה, שרוי במנוחה. תנועותינו שלנו, שוכני הארץ, עם המוני נקודות־הראות הסובייקטיביות שלנו, יתוארו אפוא ביחס למערכת קואורדינטות אחת, זו שבה הארץ שרויה במנוחה.

ואכן, אילו פנה איינשטיין בעקבותיהם של אישים כמו ורנר הייזנברג ונילס בור לכיוון הסובייקטיביסטי, הוא היה מתכחש למטא־השלכות הבסיסיות ביותר של תורת היחסות, כפי שהן נראו לו. איינשטיין פירש את התיאוריה שלו כמשקפת את טבעו האובייקטיבי של המרחב־זמן, השונה כל־כך מההשקפה האנושית הסובייקטיבית שלנו על המרחב ועל הזמן. לדוגמה, בתורת היחסות אין הזמן זורם, אלא ממלא את תפקיד הממד הרביעי, ולפיכך הוא נייח ממש כמו המרחב. בניגוד חריף להשקפה זו, ההיבט הדרמתי ביותר (והעצוב ביותר) של התנסותנו את הזמן הוא תנועתו החד־סטרית הבלתי־פוסקת, הנושאת אותנו מן העבר אל העתיד. כיוון שכך, לא זו בלבד שהתיאוריה של איינשטיין אינה מחזירה אותנו למרכז היקום, אינה מתארת את כל הדברים כיחסיים לנקודת־הראות ההתנסותית שלנו, אלא היא מציעה לנו, במתימטיקה היפהפייה שלה, אשנב להצצה במציאות פיסיקלית מפתיעה לגמרי - מפתיעה דווקא מפני שאין היא דומה במאומה למה שמציגה לפנינו תפיסתנו ההתנסותית אותה.

לפעמים דיבר איינשטיין על המציאות האובייקטיבית בלשון "שם בחוץ". כאשר מסר "רשימות אוטוביוגרפיות", מתובלות בלגלוג העצמי האופייני שלו, לספר השי שנערך לכבוד יום הולדתו השבעים של הפיסיקאי פ"א שילפּ - "הנה אני מתיישב לכתוב, בגיל 67, משהו דומה למדי להספד שלי עצמי. אני עושה זאת לא רק מפני שד"ר שילפּ שכנע אותי לעשות זאת; אלא מפני שאני מאמין כי תצמח תועלת רבה, אם נראה לכל השוקדים על מלאכתם לצדנו כיצד צופה אדם בשקידתו ובחיפושיו כשהוא מביט לאחור" - הוא זיהה מפורשות את אמונתו במציאות הזאת כעמוד התווך הרוחני של חייו כמדען:

ברור לי כשמש כי גן־העדן הדתי של נעורי, שאבד לי כך, היה הניסיון הראשון להשתחרר מכבלי "האישי גרידא", מקיום שמושלים בו רצונות, תקוות ורגשות פרימיטיביים. שם בחוץ היה העולם הענקי הזה, הקיים בלי כל תלות בנו בני־האדם, העומד לפנינו כמו חידה נצחית גדולה, שאנו יכולים לתקוף אותה חלקית, לפחות, בבדיקותינו ובחשיבתנו. ההתבוננות בעולם הזה קסמה לי כקריאת דרור... ההשגה השכלית את העולם החוץ־אישי הזה במסגרת האפשרויות הנתונות ריחפה לנגד עיני רוחי, מעט במודע ומעט שלא־במודע, כמטרה שאין נעלה ממנה... הדרך אל גן־העדן הזה לא הייתה נוחה ומפתה כמו הדרך לגן־העדן הדתי; אבל היא התגלתה כמהימנה, ומעולם לא התחרטתי על שבחרתי בה.

זוהי הצהרה נמלצת של ה"אני מאמין" של איינשטיין כמדען, והיא מנוגדת בתכלית לעמדותיהם של כמעט כל הפיסיקאים הבכירים בני חוגו. ראו למשל את דברי הייזנברג: "רעיון עולם המציאות האובייקטיבי, שלחלקיו הזעירים ביותר יש קיום אובייקטיבי, באותו מובן שיש קיום לאבנים או לעצים, קיום שאינו תלוי בשאלה אם אנו צופים בהם אם לאו... הוא בלתי־אפשרי." אבל איינשטיין הבין שעניינה של הפיסיקה הוא לגלות תיאוריות שמציעות לנו יכולת להציץ בטבע האובייקטיבי המצוי "שם בחוץ", מעבר להתנסותנו. ורנר הייזנברג, בדומה לאישים כמו נילס בור הדני ומקס בורן הגרמני (שני המאורות הגדולים של פרשנות קופנהגן למכניקת הקוואנטים), דחה את ההשקפה הזאת בשמה של תנועה אינטלקטואלית שנקראה "פוזיטיביזם", ולפיה כל ניסיון לחרוג אל מעבר להתנסות יוליד רק שטות ואיוולת.

אנו עתידים להתבונן היטב בפוזיטיביזם בפרק הבא, כאשר נעבור מפרינסטון שבארצות הברית לווינה שבאוסטריה ונסקור את הנסיבות שהולידו, כמעט כמין התקוממות אינטלקטואלית נעלה נגד הפוזיטיביסטים, את שני משפטי האי־שלמות של גדל.

הפוזיטיביזם, במיוחד כפי שדגלה בו אותה קבוצה של מדענים, מתימטיקאים ופילוסופים אשר נודעה לתהילה בשם "חוג וינה", תחת השפעתו העזה של הפילוסוף הכריזמטי יליד וינה לודוויג ויטגנשטיין, הוא תיאוריה מחמירה של המשמעות, העושה שימוש חופשי בביטוי חסר־משמעות. במיוחד, היא מוקיעה כחסרת־משמעות כל טענה תיאוּרית שעקרונית אי־אפשר לאמת אותה מתוך תכולתן של התנסויותינו. משמעותה של טענה ניתנת באמצעות אימותה האמפירי - זוהי אמת־המידה האימותית למשמעות.

מוטב להבהיר את הדברים: טענה תיאוּרית פירושה טענה שאינה אמיתית (או שקרית) אך ורק מתוקף משמעותה. טענות שערך־האמת שלהן (אמיתיוּת או שקריוּת) נובע ממשמעותן בלבד נקראות "אנליטיות", או לפעמים "טריוויאליות". לדוגמה, הטענה "כל האנשים הדו־לשוניים דוברים לפחות בשתי שפות" היא אנליטית. טענה תיאוּרית, לעומת זאת, אינה אמיתית או שקרית אך ורק מתוקף משמעותה, אלא גם מתוקף העובדות שבגופו של עניין. לכן, במה שנוגע למחברת הספר הזה, הטענה "אני דו־לשונית" היא שקרית מתוקף משמעותה וגם מתוקף העובדות.

גדל, בדומה לאיינשטיין, קיבל עליו שיש ביכולתו של האדם לחרוג מתחומי התנסותו, במחילה מכבודם של הפוזיטיביסטים, ולתאר את העולם המצוי "שם בחוץ". אך מכיוון שתחומו של גדל היה המתימטיקה, אותו "שם בחוץ" שעניין אותו היה ממלכת המציאות המופשטת. מחויבותו לקיומה האובייקטיבי של מציאות מתימטית היא ההשקפה הידועה בשם ריאליזם מושגי, או ריאליזם מתימטי. היא נקראת גם אפלטוניזם מתימטי, לזכר הפילוסוף היווני הקדום שהמטאפיסיקה שלו הייתה שלילה נמרצת של עמדת הסופיסט פּרוֹטָגוֹרָס, ולפיה "האדם הוא מידת כל הדברים."

האפלטוניזם הוא ההשקפה הגורסת שאמיתוֹת המתימטיקה אינן תלויות בכל מעשה אדם, כגון בניית מערכות פורמליות - עם האקסיומות, ההגדרות, כללי ההקשה וההוכחות שלהן. אמיתות המתימטיקה נקבעות, לפי הגישה האפלטוניסטית, מכוחה של ממשות המתימטיקה, מטבען של הישויות הממשיות אם כי המופשטות (מספרים, קבוצות וכיו"ב) היוצרות את המציאות הזאת. למשל, מבנה המספרים הטבעיים (כלומר, המספרים המונים המוּכּרים והחביבים, 1, 2, 3 וכו') קיים בלי תלות בנו, לדעת הריאליסט המתימטי, בדיוק כמו מבנה המרחב־זמן, להשקפת הריאליסט הפיסיקלי; ותכונותיהם של המספרים 4 ו־25 - כגון זה שהאחד מהם זוגי והאחר אי־זוגי, או ששניהם הם ריבועים מושלמים - הן אובייקטיביות לא פחות מהתכונות הפיסיקליות של אור וכבידה, בראיית הריאליסט הפיסיקלי.

בעיני גדל, המתימטיקה הייתה אמצעי לחשיפת סממניה של מציאות מתימטית אובייקטיבית, כשם שבעיני איינשטיין, הפיסיקה הייתה אמצעי לחשיפת היבטיה של מציאות פיסיקלית אובייקטיבית. נוכל לנסח את האופן שבו הבין גדל את מה שאנו עושים כשאנו עוסקים במתימטיקה, במילים שיענו כהד אחר האני מאמין של איינשטיין: "שם בחוץ ישנו העולם הענקי הזה, הקיים בלי כל תלות בנו בני־האדם, העומד לפנינו כמו חידה נצחית גדולה, שאנו יכולים לתקוף אותה חלקית, לפחות, בבדיקותינו ובחשיבתנו." אלא שבמקרה זה, "שם בחוץ" צריך להתפרש כמרוחק עוד יותר מבעל ההתנסות, עם נקודת־הראות האנושית המובהקת שלו. "שם בחוץ" מצוי מעבר לַמרחב־זמן הפיסיקלי; מדובר במציאות של הפשטה טהורה, של אמיתות אוניברסליות והכרחיות, ויכולת החשיבה המלכתחילית שלנו מספקת לנו - הפלא ופלא - את האמצעים לתקוף את ה"שם בחוץ" העילאי הזה, ולזכות בהצצה חלקית, לפחות, במה שאפשר לקוראו "מציאות קיצונית".

כשלעצמו, האפלטוניזם המתימטי של גדל לא היה בגדר חריג. מתימטיקאים רבים היו ריאליסטים מתימטיים; וגם אלה מהם שלא תיארו כך את עצמם, כאשר נדחקו בגבם לקיר ונשאלו חד־וחלק על עמדתם המטא־מתימטית, גלשו שלא מדעת לריאליזם כאשר תיארו את עבודתם כ"תגלית" (מעניין לציין שדברים אלה אמורים אפילו בדוויד הילברט, שהפורמליזם שלו היה מנוגד בחריפות לאפלטוניזם, כמתואר בפרק 2). ה"ג הַארדִי (1877-1947), המתימטיקאי האנגלי המהולל, נתן ביטוי לאמונותיו האפלטוניסטיות בספרו הקלאסי התנצלותו של מתימטיקאי, בלי שום התנצלויות בכלל:

אני מאמין כי מציאות מתימטית מצויה מחוצה לנו, כי תפקידנו הוא לגלותה או לצפות בה, וכי המשפטים שאנו מוכיחים, ומתארים ברהבתנות כ"יצירותינו", אינם אלא רשימות על תצפיותינו. השקפה זו הייתה מקובלת, בצורה זו או אחרת, על פילוסופים ידועי־שם רבים מאפלטון ואילך, ואני אשתמש בשפה המתבקשת מאליה למי שמחזיק בה. ...

השקפה ריאליסטית זו הרבה יותר סבירה בהתייחס למציאות המתימטית מאשר למציאות הפיסיקלית, משום שהעצמים המתימטיים מכילים הרבה יותר ממה שגלוי לעין. כיסא או כוכב אינו מכיל כלל את מה שהוא נראה כמכיל; ככל שאנו מרבים לחשוב עליו, כן נעשים קוויו מטושטשים יותר בערפל התחושתי האופף אותו. אבל "2" או "317" אין להם ולא כלום עם תחושותינו, ותכונותיהם הולכות ומתבלטות לעינינו ככל שאנו מתעמקים בבחינתם. ייתכן שהפיסיקה המודרנית מיטיבה להלום איזו מסגרת של פילוסופיה אידיאליסטית - אין זו דעתי שלי, אבל כמה פיסיקאים דגולים אומרים זאת. המתימטיקה הטהורה, לעומת זאת, נראית לי כסלע שכל אידיאליזם מתנפץ עליו: 317 הוא מספר ראשוני, לא מפני שאנו חושבים ככה, או מפני שנפשותינו מעוצבות בדרך זו או אחרת, אלא מפני שככה זה, ככה בנויה המציאות המתימטית.

הדברים האלה נכתבו בנסיבות נוגעות ללב ויוצאות־דופן. היה זה אחרי שהארדי איבד את כוח היצירה שלו כמתימטיקאי, כפי שקורה למתימטיקאים רבים בגיל צעיר יחסית. (מתימטיקאי בן ארבעים, קרוב לוודאי ששנותיו היפות ביותר כבר מאחוריו; ומשום כך עיטור פילדס, הפרס היוקרתי ביותר במתימטיקה - שהרי אין פרס נובל למתימטיקה - ניתן רק לבני 40 או פחות.) הוא ניסה להתאבד, נשאר בחיים, ואז שכנע אותו צ'רלס פ' סנואו לכתוב ספר שיסביר את חייו כמתימטיקאי. התוצאה, התנצלותו של מתימטיקאי, היא ספר קלאסי שלא יסולא בפז. זמן קצר אחרי שהשלים את כתיבתו ניסה הארדי שוב לשלוח יד בנפשו, והפעם עלה הדבר בידו.

חלפו כמעט שלושת אלפים שנה מאז אפלטון, והן סיפקו לנו שפע של מתימטיקה חדשה ומופלאה, אבל לא נמצאו לנו במשך כל הזמן הזה סיבות נוספות להאמין באפלטוניזם, מעבר לאלה שהיו כבר לאותו פילוסוף קדום. מתימטיקאי אחר מתימטיקאי העיד, כמו הארדי, על אמונתו האפלטוניסטית בכך שסיפר כי הוא מגלה - מגלה, לא יוצר - אמיתוֹת מתימטיות. אבל עדויות היו כל מה שקיבלנו... עד שבא גדל. יומרתו החצופה של גדל, השאיפה להציג מסקנה מתימטית שהיא בה־בעת מטא־מתימטית ותומכת בריאליזם המתימטי, היא־היא שהייתה מקורם של משפטי האי־שלמות שלו

. השקפתו המטא־מתימטית של גדל - אימוצו את קיומה האובייקטיבי והבלתי־תלוי של מציאות מתימטית - הייתה מן הסתם תמצית חייו, וזו דרך אחרת לומר דברי אמת שאינם מוטלים בספק: הוא היה איש משונה באמת ובתמים. השקפתו הפילוסופית לא הייתה ביטוי של המתימטיקה שלו; המתימטיקה שלו הייתה ביטוי של השקפתו הפילוסופית, של האפלטוניזם שלו, ולכן היה זה הביטוי העמוק ביותר של האיש עצמו. אם עבודתו (כעבודתו של איינשטיין) פורשה כתואמת את המהפכה נגד האובייקטיביות, ואף יותר מזה, כאחד הכוחות המניעים החזקים ביותר שלה, הרי זה צחוק הגורל.

שפר עליו מזלו של איינשטיין, בערוב ימיו, והוא מצא נשמה־אחות פילוסופית (גם אם הייתה זו נפשו הלא־יציבה והחולנית של גדל) לרכך את תחושת הגלות שלו. הדברים שציטט מורגנשטרן מפי איינשטיין, על כך שהוא בא לעת זקנה למכון רק על־מנת שתהיה לו הזכות הגדולה ללוות את גדל הביתה, נעשים פחות מפתיעים כאשר מתבוננים בהם תחת המטא־אור הנפתל הזה.

אחרי מותו של איינשטיין, ב־1955, העמיקה בגדל תחושת הגלות האינטלקטואלית שלו; הוא הזדהה יותר מכול עם לייבניץ, הרציונליסט שאין שני לו, אשר היה במתים זה שלוש־מאות שנה כמעט. ההסברים שהגיע אליהם הלוגיקאי מתוך יישומה הדקדקני של "האקסיומה המעניינת" שלו לבשו צביון יותר ויותר קודר. הצעיר בחליפה הלבנה המהודרת הצטמק ונעשה איש כחוש, חנוט במעיל כבד ובצעיף אפילו בימות הקיץ החמים והלחים של ניו ג'רזי, וראה מזימות מקיפות אותו מכל עבר. הוא הגיע לכלל מסקנה כי קנוניה רחבת־ממדים, המתנהלת זה מאות שנים ככל הנראה, פועלת לדיכוי האמת ו"להפיכת בני־האדם לטיפשים". אלה שגילו את מלוא עוצמתה של הבּינה המלכתחילית, אישים כמו לייבניץ במאה השבע־עשרה וגדל במאה העשרים, נמצאו לדעתו ברשימת חיסולים. בידודו העמוק מעל עמיתיו, ואולי מוטב לומר התנכרותו להם, היו קרקע פורייה לאותה רציונליות שלוחת־רסן הידועה בשם פרנויה.

רבים ראו פרדוקס בכך שגדול הלוגיקאים מאז אריסטו הלך בדרך הבּינה בלא שסטה ממנה ימינה ושמאלה, וסופו שהגיע למסקנות כה בלתי־הגיוניות. אך כפי שאני מקווה להבהיר בפרקים הבאים, הפרדוקסים הפנימיים באישיותו של גדל נבעו, לפחות חלקית, מתגובותיו הפרדוקסליות של העולם על עבודתו המפורסמת. משפטי האי־שלמות שלו הועלו על נס ונזנחו כלאחר־יד, בעת ובעונה אחת. תכולתם הטכנית הפכה על פיהם את תחומי הלוגיקה והמתימטיקה; שיטת ההוכחה שבה השתמש, והמושגים שהגדיר במהלך ההוכחה, פתחו תחומים חדשים לגמרי של מחקר, כמו תורת החישוביוּת ותורת המודלים. תחומי מחקר מרכזיים אחרים נזנחו, בייחוד אלה שגדול המתימטיקאים בדור שקדם לגדל, דוויד הילברט (1862-1943), סמך עליהם את ידיו - לאחר שהראה גדל במשפטי האי־שלמות שלו כי הם שדות צחיחים.

ואף־על־פי־כן, ההשלכות המטא־מתימטיות של המשפטים, שהיו בעיני גדל ההיבט החשוב ביותר שלהם, נדחקו לקרן־זווית. ולהוסיף פרדוקס על פרדוקס, הזרמים התוססים ביותר של התרבות, שהעלו על נס את האי־ודאות הפוסט־מודרנית ואת המיתולוגיה הכוזבת של כל המוּחלטוֹת, אימצו את משפטיו אל לבם, יחד עם תורת היחסות של איינשטיין, ונתנו להם פרשנות חדשה שעמדה בניגוד מדויק לאותן אמונות שגדל, כמוהו כשותפו לגלות, שאף בכל מאודו להמחישן.

פרדוקסים, במשמעות הטכנית של המונח, הם תאונות של החשיבה התבונית, שבהן מוצא השׂכל את עצמו נאלץ, מכוח ההיגיון, להסיק מסקנות הסותרות זו את זו. רבים מהם משתייכים לזן ההתייחסות העצמית: הבעיות נובעות מכך שפריט לשוני כלשהו - תיאור, משפט חיווי - עשוי להתייחס אל עצמו. העתיק מבין הפרדוקסים האלה נקרא "פרדוקס השקרן", ומוצאו מיוון העתיקה. פאולוס הקדוש ציטט אותו באיגרתו אל טיטוס (א' י"א-י"ב), הנכללת בברית החדשה: "וכבר אמר אחד מהם [מבני כרתים], נביאם אשר בתוכם, 'בני כרתים כוזבים הם מעולם...' והעדות הזאת אמת היא." מוקד הפרדוקס הוא בהתייחסות העצמית: "העדות הזאת אמת היא." פסוק זה, ככל הפסוקים, יכול להיות אחד משניים: אמיתי או שקרי. אבל אם הוא אמיתי, חזקה עליו שהוא שקרי, כי הרי זה מה שנאמר בו; ואם הוא שקרי, מה לעשות, הוא אמיתי, כי הרי שוב, זה מה שנאמר בו. אין מנוס מלקבוע שהוא גם אמיתי וגם שקרי, והרי לכם בעיה שהבּינה אינה מסוגלת להתמודד עמה.

פרדוקסים כדוגמת פרדוקס השקרן ממלאים תפקיד טכני בהוכחה שהתקין גדל למשפט האי־שלמות הראשון והמופלא שלו. גדל הצליח לקחת את מבנה הפרדוקסליות של ההתייחסות העצמית - מבנה מעין זה שהבּינה אינה מסוגלת להתמודד עמו, כאשר היא שוקלת את "העדות הזאת אמת היא" - ולהפוך אותו להוכחה מופלאה של אחת התוצאות המפתיעות ביותר בתולדות המתימטיקה. למען האמת, יכולתן של מסקנות מתימטיות להפתיענו אולי נראית פרדוקסלית בעצמה.

העולם עשוי בהחלט לסתור את ציפיותינו, ואף נוהג לעשות כן לעתים מזומנות; התנסויותינו בו מטלטלות אותנו דרך־קבע משאננותנו. אבל כיצד יכולות לעשות זאת מסקנות שהגענו אליהן אך ורק מתוך חשיבה מלכתחילית? אם אמת מלכתחילית חסינה מפני ביקורת אמפירית, מעצם הגדרתה, הרי שלא התנסות בלתי־צפויה כלשהי מתוך העולם היא שמעניקה לנו את הטלטלה. חזקה עלינו שנקלענו למבוי הסתום בתהליך ההסקה שלנו, והדבר נראה מוזר על־פניו. גם עם הסוגיה הזאת התמודד גדל במשפט הראשון הפורה שלו. בעיני גדל, ממשותה הבלתי־תלויה של המתימטיקה, שהאקסיומות שלנו מתארות אותה באורח שאינו מושלם, נוטלת את הפתיעה מיכולת ההפתעה של המתימטיקה.

וזה נראה כמעט פרדוקסלי. מאז ומתמיד, כמדומה, נועדו הפרדוקסים במפורש לשכנענו כי פשוט איננו פיקחים די הצורך להתמודד עם הנושא אשר חולל אותם, יהיה אשר יהיה. גדל הצליח לתמרן את חומר הפרדוקס המתריס בפני הבּינה, ולהפוך אותו להוכחה שמוליכה אותנו אל תובנות עמוקות בדבר טבעם של האמת, הידע והוודאות. כפי שגדל עצמו, הבין את ההוכחה שלו, בדרכו האפלטוניסטית, היא מלמדת ששכלנו מסוגל, הודות לידיעתו את המתימטיקה, להיחלץ ממגבלותיהן של מערכות מעשה ידי אדם, ולתפוס את האמיתות הבלתי־תלויות של המציאות המופשטת הזאת.

מבנה ההוכחה של גדל, לרבות השימוש שהוא עושה בפרדוקס עתיק־יומין, נדרשים ברמה ידועה, ולוּ רק על דרך המטפורה, לפרדוקסים בסיפור שהמאה העשרים סיפרה לעצמה על אחדים מהישגיה האינטלקטואליים הגדולים ביותר - וביניהם, כמובן, משפטי האי־שלמות של גדל. אולי יבוא יום אחד היסטוריון של הרעיונות ויסביר את התפנית אל הסובייקטיביזם שפנו כה רבים מהוגי־הדעות המשפיעים ביותר של המאה שעברה, ולא רק פילוסופים אלא גם מדענים מן המדעים המדויקים, כמו הייזנברג ובור. הסבר מעין זה מצוי הרחק מחוץ לתחום עיסוקו של הספר הזה. לא נותר לי אלא לתאר את ההשפעה שהייתה להתקוממות הזו נגד האובייקטיביות על אחד מהדגולים בהוגי־הדעות של המאה העשרים: כיצד עוררה אותו לפתח את ההוכחה שלו למשפטי האי־שלמות, וכיצד באה לאחר מעשה ופירשה את המשפטים הללו כאישוש לעצמה.

על־מנת להבין את מלוא העושר - והפרדוקסים - של גדל, עולמו ועבודתו, יהיה צורך לפסוע שתי פסיעות לאחור מהתמונה שצוירה לעיל - גדל החוזר לביתו בלוויית איינשטיין בשביל מוצל בפרינסטון. תחילה נחזור לשנות העשרים, אל וינה של נעורי גדל, שהייתה זירתן של התקפות אינטלקטואליות ותרבותיות כה רבות על המסורת באותם עשורים ראשונים של המאה; ומשם ניסוג עוד בצעד אחד אל תחילת המאה, כאשר הולידה תפיסה מסוימת של המתימטיקה תוכנית להשלמת המתימטיקה כולה, תוכנית שנגזר עליה ליפול קורבן לעבודתו של אותו לוגיקאי צעיר ומסוגר, בעל השאפתנות המתימטית היומרנית כל־כך.

© כל הזכויות שמורות לאריה ניר הוצאה לאור

ההוכחה והפרדוקס - משפטי האי שלמות של קורט גדל - רבקה גולדסטיין
The Proof and Paradox of Kurt Godel - Rebecca Goldstein


לראש העמוד

מומלצים: ספרים | כתב עת ספרים | עולם חדש | רמקולים | זכות הילד לכבוד
| סמיוטיקה | מטר | רמות | Tom | דלילה | גד ויספלד | מיקרוטופינג

ספרים חדשים באוגוסט 2019:
אולטימטום, אי אפשר לברוח מהשמש, אלוהים אתה שם? זאת מרגרט, אמש, לילה אחרון, בין המולדות, במקום גרניום, גיא בן הינום, גשם חייב לרדת, דוניא, האוויר שאת נושמת, האיש שלא שרף את קפקא, האישה שלא הייתה, האלמנה השחורה, הזנה רעילה, הכד השחור: רומן משפחתי, הכלה מאיסטנבול, המיסה של האתאיסט, המשהו הזה, הסבך, השועלים של שמשון, וינה 1900 , חוק 5 השניות, חיים לנצח, יפים כמו שהיינו, לֻזוּמִּיַאת: התחייבויות וחובות מופרים, לא העזנו לדעת, לאהוב מחדש, לקראת אוטוביוגרפיה מינורית, מבוסס על סיפור אמיתי, מסע דילוגים, מרלנה, נהר הקרח, נשים ללא גברים, סודות, סוכרי יוסי - אמזלג, סטארט אפ, סער ופרץ, ספר געגועים, עגלות , עוד לילה אחד, עינה של האורקל, על מקום הימצאה, עצי לבנה ומסילות ברזל, פול אוסטר 4321, פיצות,איקאה ודילמת האיש השמן, ציפור בעיר קדושה, רומן, רשימת המוזמנים, שמיים שאין להם חוף.

ספרים חדשים

סמיוטיקה - בניית אתרים, עיצוב אתרים
* * *