Amazon.com Widgets

  ספרים חדשים - אתר טקסט    ⚞  שנת 2009  ⚟

 | 2020 | 2019 | 2018 | 2017 | 2016 | 2015 | 2014 | 2013 | 2012 | 2011 | 2010 | שנת 2009 | 2008 | 2007 | 2006 | 2005 | 

|  אוגוסט 2019 |  יולי 2019 |  יוני 2019 |  מאי 2019 |  אפריל 2019 |  מרץ 2019 |  פברואר 2019 |  ינואר 2019  |  דצמבר 2018 |  נובמבר 2018  |  אוקטובר 2018 |  ספטמבר 2018 |

» ספרים בינואר 2010
» ספרים בדצמבר 2009
» ספרים בנובמבר 2009
» ספרים באוקטובר 2009
» ספרים בספטמבר 2009
» ספרים באוגוסט 2009
» ספרים ביולי 2009
» ספרים ביוני 2009
» ספרים במאי 2009
» ספרים באפריל 2009
» ספרים במרץ 2009
» ספרים בפברואר 2009
» ספרים בינואר 2009
» ספרים בדצמבר 2008
» ספרים בינואר 2010
» ספרים בדצמבר 2009
» ספרים בנובמבר 2009
» ספרים באוקטובר 2009
» ספרים בספטמבר 2009
» ספרים באוגוסט 2009
» ספרים ביולי 2009
» ספרים ביוני 2009
» ספרים במאי 2009
» ספרים באפריל 2009
» ספרים במרץ 2009
» ספרים בפברואר 2009
» ספרים בינואר 2009
» ספרים בדצמבר 2008
» ספרים בינואר 2010
» ספרים בדצמבר 2009
» ספרים בנובמבר 2009
» ספרים באוקטובר 2009
» ספרים בספטמבר 2009
» ספרים באוגוסט 2009
» ספרים ביולי 2009
» ספרים ביוני 2009
» ספרים במאי 2009
» ספרים באפריל 2009
» ספרים במרץ 2009
» ספרים בפברואר 2009
» ספרים בינואר 2009
» ספרים בדצמבר 2008
» ספרים בינואר 2010
» ספרים בדצמבר 2009
» ספרים בנובמבר 2009
» ספרים באוקטובר 2009
» ספרים בספטמבר 2009
» ספרים באוגוסט 2009
» ספרים ביולי 2009
» ספרים ביוני 2009
» ספרים במאי 2009
» ספרים באפריל 2009
» ספרים במרץ 2009
» ספרים בפברואר 2009
» ספרים בינואר 2009
» ספרים בדצמבר 2008
» ספרים בינואר 2010
» ספרים בדצמבר 2009
» ספרים בנובמבר 2009
» ספרים באוקטובר 2009
» ספרים בספטמבר 2009
» ספרים באוגוסט 2009
» ספרים ביולי 2009
» ספרים ביוני 2009
» ספרים במאי 2009
» ספרים באפריל 2009
» ספרים במרץ 2009
» ספרים בפברואר 2009
» ספרים בינואר 2009
» ספרים בדצמבר 2008
» ספרים בינואר 2010
» ספרים בדצמבר 2009
» ספרים בנובמבר 2009
» ספרים באוקטובר 2009
» ספרים בספטמבר 2009
» ספרים באוגוסט 2009
» ספרים ביולי 2009
» ספרים ביוני 2009
» ספרים במאי 2009
» ספרים באפריל 2009
» ספרים במרץ 2009
» ספרים בפברואר 2009
» ספרים בינואר 2009
» ספרים בדצמבר 2008
» ספרים בינואר 2010
» ספרים בדצמבר 2009
» ספרים בנובמבר 2009
» ספרים באוקטובר 2009
» ספרים בספטמבר 2009
» ספרים באוגוסט 2009
» ספרים ביולי 2009
» ספרים ביוני 2009
» ספרים במאי 2009
» ספרים באפריל 2009
» ספרים במרץ 2009
» ספרים בפברואר 2009
» ספרים בינואר 2009
» ספרים בדצמבר 2008
» ספרים בינואר 2010
» ספרים בדצמבר 2009
» ספרים בנובמבר 2009
» ספרים באוקטובר 2009
» ספרים בספטמבר 2009
» ספרים באוגוסט 2009
» ספרים ביולי 2009
» ספרים ביוני 2009
» ספרים במאי 2009
» ספרים באפריל 2009
» ספרים במרץ 2009
» ספרים בפברואר 2009
» ספרים בינואר 2009
» ספרים בדצמבר 2008
» ספרים בינואר 2010
» ספרים בדצמבר 2009
» ספרים בנובמבר 2009
» ספרים באוקטובר 2009
» ספרים בספטמבר 2009
» ספרים באוגוסט 2009
» ספרים ביולי 2009
» ספרים ביוני 2009
» ספרים במאי 2009
» ספרים באפריל 2009
» ספרים במרץ 2009
» ספרים בפברואר 2009
» ספרים בינואר 2009
» ספרים בדצמבר 2008
» ספרים בינואר 2010
» ספרים בדצמבר 2009
» ספרים בנובמבר 2009
» ספרים באוקטובר 2009
» ספרים בספטמבר 2009
» ספרים באוגוסט 2009
» ספרים ביולי 2009
» ספרים ביוני 2009
» ספרים במאי 2009
» ספרים באפריל 2009
» ספרים במרץ 2009
» ספרים בפברואר 2009
» ספרים בינואר 2009
» ספרים בדצמבר 2008
» ספרים בינואר 2010
» ספרים בדצמבר 2009
» ספרים בנובמבר 2009
» ספרים באוקטובר 2009
» ספרים בספטמבר 2009
» ספרים באוגוסט 2009
» ספרים ביולי 2009
» ספרים ביוני 2009
» ספרים במאי 2009
» ספרים באפריל 2009
» ספרים במרץ 2009
» ספרים בפברואר 2009
» ספרים בינואר 2009
» ספרים בדצמבר 2008
» פרויקט נחום גוטמן
» ספרים בינואר 2010
» ספרים בדצמבר 2009
» ספרים בנובמבר 2009
» ספרים באוקטובר 2009
» ספרים בספטמבר 2009
» ספרים באוגוסט 2009
» ספרים ביולי 2009
» ספרים ביוני 2009
» ספרים במאי 2009
» ספרים באפריל 2009
» ספרים במרץ 2009
» ספרים בפברואר 2009
» ספרים בינואר 2009
» ספרים בדצמבר 2008
» ספרים בינואר 2010
» ספרים בדצמבר 2009
» ספרים בנובמבר 2009
» ספרים באוקטובר 2009
» ספרים בספטמבר 2009
» ספרים באוגוסט 2009
» ספרים ביולי 2009
» ספרים ביוני 2009
» ספרים במאי 2009
» ספרים באפריל 2009
» ספרים במרץ 2009
» ספרים בפברואר 2009
» ספרים בינואר 2009
» ספרים בדצמבר 2008
» ספרים בינואר 2010
» ספרים בדצמבר 2009
» ספרים בנובמבר 2009
» ספרים באוקטובר 2009
» ספרים בספטמבר 2009
» ספרים באוגוסט 2009
» ספרים ביולי 2009
» ספרים ביוני 2009
» ספרים במאי 2009
» ספרים באפריל 2009
» ספרים במרץ 2009
» ספרים בפברואר 2009
» ספרים בינואר 2009
» ספרים בדצמבר 2008


גודל אות רגילגודל אות גדול יותרגודל אות גדול מאוד

| כולם | ספרים בחודשים |
| אודות טקסט | יצירת קשר |
פרטיות בטקסט

ספרים חדשים בפורמט RSS


» טקסט  » מדעי אדם וטבע  » ספרים חדשים בנובמבר 2009       חזור

האם אלוהים הוא מתימטיקאי מתמטיקאי?
מאת: מריו ליביו
Is God A Mathematician - Mario Livio

ההוצאה:

אריה ניר

האם אלוהים הוא מתימטיקאי? מציג את התעלומה שעמה התלבטו אחדים מהמוחות המקוריים ביותר במהלך הדורות - מדוע יש למתימטיקה עוצמה כה רבה? מימי קדם ועד להווה, מדענים ופילוסופים השתוממו על יכולתו של תחום כה מופשט, לכאורה, להסביר את העולם הטבעי באורח כה מושלם.

יתר־על־כן, פעמים רבות מציגה המתימטיקה ניבויים - על חלקיקים תת־אטומיים, למשל, או על תופעות אחרות שלא היו ידועות בשעתן - שהתגלו כאמיתיים בבוא העת.

האם המתימטיקה היא פרי ההמצאה או פרי התגלית? אם המתימטיקה היא "פרי המחשבה האנושית שאינו תלוי בהתנסות", כפי שטען איינשטיין, כיצד יש ביכולתה לתאר ואפילו לנבא את העולם הסובב אותנו ברמה כה גבוהה של דיוק?

האם אלוהים הוא מתימטיקאי מתמטיקאי?
שתפו אותי

רבים מבין המתימטיקאים עצמם נוהגים לומר שאין לעבודתם כל השלכה מעשית. המתימטיקאי הבריטי ג"ה הארדי הרחיק לכת כשתיאר כך את עבודתו: "לשום תגלית מתגליותַי אין שמץ של תועלת לטובת העולם." טעות הייתה בידו. חוק הארדי־ויינברג מספק לגנטיקאים כלי לניבוי הדרך שבה עוברים גנים מדור לדור, ועבודתו של הארדי על תורת המספרים מצאה יישומים בלתי־צפויים בפיתוח צפנים.

הפיסיקאי מריו ליביו, מחבר רבי המכר חיתוך הזהב ו- שפת הסימטריה, סוקר, בדרכו המבריקה, רעיונות מתימטיים מימי פיתגורס ועד ימינו, כדי להראות כיצד הוליכו שאלות מסקרנות ותשובות רבות תושייה להבנה הולכת ומעמיקה של עולמנו. הספר המרתק הזה יעניין את כל המתעניינים ברוח האדם, בעולם המדע וביחסים ביניהם.

ביקורות מחו"ל
"ספר קריא ביותר זה חושף שתיים מהשאלות המרתקות הנמצאות בבסיס הפיסיקה - מדוע המתימטיקה כה יעילה בתיאור הטבע והאם מתימטיקה היא המצאה של המוח האנושי או חלק ממארג המציאות הפיסית? ליביו מספק סקירה נהדרת על הנושאים השונים, מציג מגוון רחב של אפשרויות, ונוסף על כך מביא כמה תובנות מרתקות משלו. אני ממליץ מאוד על קריאת ספר זה לכל המתעניין בשאלות אלה." דייוויד גרוס, חתן פרס נובל לפיסיקה 2004

"האם אלוהים הוא מתימטיקאי?, ספרו החדש של מריו ליביו, בוחן את השאלה הזאת תוך התייחסות להקשרים מדעיים, היסטוריים ופילוסופיים. הוא מנווט במיומנות במים הסוערים, אך כתיבתו בהירה וקלה להבנה... קראו את הספר והחליטו בעצמכם מהי התשובה לשאלה." סר מייקל עטייה, בעל עיטור פילדס 1966 וחתן פרס אבּל למתימטיקה 2004

הפיסיקאי מריו ליביו, מחבר רבי המכר חיתוך הזהב ושפת הסימטריה, סוקר, בדרכו המבריקה, רעיונות מתימטיים מימי פיתגורס ועד ימינו, כדי להראות כיצד הוליכו שאלות מסקרנות ותשובות רבות תושייה להבנה הולכת ומעמיקה של עולמנו. הספר המרתק הזה יעניין את כל המתעניינים ברוח האדם, בעולם המדע וביחסים ביניהם.

האם אלוהים הוא מתימטיקאי? מאת מריו ליביו בהוצאת אריה ניר,
מאנגלית: עמנואל לוטם, 317 עמודים

האם אלוהים הוא מתימטיקאי, מריו ליביו | פרק ראשון: תעלומה
לפני כמה שנים נתתי הרצאה באוניברסיטת קורנל. באחת משקופיותיה של מצגת הפאוארפוינט שלי הופיעה השאלה: "האם אלוהים הוא מתימטיקאי?" ברגע שהופיעה השקופית שמעתי את גניחתו של סטודנט מן השורה הראשונה: "אלוהים אדירים, אני מקווה שלא!"

השאלה הרטורית שהצגתי לא הייתה ניסיון פילוסופי להגדיר את אלוהים למען שומעַי, וגם לא מזימה מחוכמת להטיל אימה על היראים ממתימטיקה. לא ולא, פשוט ניסיתי להציג תעלומה שעמה התלבטו אחדים מהמוחות המקוריים ביותר בהיסטוריה במשך דורות - הימצאותה של המתימטיקה בכל מקום ומקום, כמדומה, ועוצמתה הכול־יכולה. אלה הם ממין המאפיינים שהדעת מקשרת בדרך כלל עם האלוהות. כפי שהציג את הדברים הפיסיקאי הבריטי ג'יימס גִ'ינס (1877-1946): "היקום נראה כאילו עיצב אותו מתימטיקאי טהור." המתימטיקה נראית כמעט יותר מדי אפקטיבית בתיאורה ובהסברתה לא רק את הקוסמוס בכללותו, אלא גם אחדים ממפעליו המבולגנים ביותר של האדם.

אין זה משנה אם מדובר בפיסיקאים המנסים לנסח תיאוריות של היקום, באנליסטים של הבורסה המקמטים את מצחם בניסיון לחזות מתי ייחלץ שוק המניות מהמשבר, בנוירוביולוגים הבונים מודלים של תפקודי המוח או בסטטיסטיקאים של המודיעין הצבאי החותרים לאופטימיזציה בהקצאת משאביהם: כולם כאחד משתמשים במתימטיקה. יתר־על־כן, גם כאשר הם משתמשים בפורמליזמים שפותחו בענפים שונים של המתימטיקה, הם עדיין מסתמכים על אותה המסגרת הכוללנית והמגובשת של המתימטיקה. מנין שואבת המתימטיקה את הכוחות המופלאים הללו, כוחות שפשוט לא ייאמנו? או כפי שתהה פעם איינשטיין, "כיצד ייתכן שהמתימטיקה, פרי המחשבה האנושית שאינו תלוי בהתנסות [ההדגשה שלי], מתאימה באורח כה מושלם לעצמים של המציאות הפיסיקלית?"

אין שום חידוש בתהייה העמוקה הזאת. אחדים מהפילוסופים של יוון העתיקה, ובייחוד פיתגורס ואפלטון, הביעו זה־כבר את יראתם מפני יכולתה הנדמית של המתימטיקה לעצב את היקום ולהנחותו - בעודה מתקיימת, ככל שראו הם את הדברים, מעבר ליכולת האדם לשנותה, לכוון אותה או להשפיע עליה. הפילוסוף הפוליטי האנגלי תומס הוֹבּס (1588-1679) התקשה גם הוא להצניע את התפעלותו. בספרו לויתן הציג הובס באורח מרשים ביותר את מה שנראה לו כיסוד החברה והממשלה, ובחר בגיאומטריה כמופת לטיעון רציונלי:

אם כן, הואיל והאמת כל עיקרה - סידור נכון של השמות בחיוויינו, כל המבקש אמת מדוייקת צריך לזכור על מה מורה כל שם שהוא משתמש בו, ולייחד לו מקום בהתאם לכך; שאם לא כן, יסתבך במלים, כציפור בין ענפים משוחים בדבק־ציידים, שככל שתתאמץ להיחלץ, כן תיצמד יותר לדבק. לפיכך בגיאומטריה, המדע היחיד שהואיל האל עד עתה להנחיל למין האדם, מתחילים בני־האדם בקביעת ההוראות של מלותיהם. לקביעת הוראות זו קוראים הם הגדרוֹת, ומייחדים להן מקום בתחילת חישובם.

אלפי שנים של מחקר מתימטי מרשים ושל הגות פילוסופית מושכלת הועילו רק במעט, יחסית, לשפיכת אור על חידת עוצמתה של המתימטיקה. אדרבה, במובן מסוים התעלומה אף העמיקה עוד יותר. לדוגמה, רוג'ר פֶּנרוֹז, הפיסיקאי המתימטי המהולל מאוקספורד, רואה בה כיום לא תעלומה יחידה, אלא משולשת. פנרוז מזהה שלושה "עולמות" שונים: עולם התפיסה המודעת, העולם הפיסיקלי ועולם הצורות המתימטיות האפלטוני. העולם הראשון הוא משכן כל הדימויים השׂכליים שלנו - כיצד אנו תופסים את פני ילדינו, כיצד אנו מתענגים על שקיעה עוצרת־נשימה, כיצד אנו מגיבים על מראות הזוועה של המלחמה.

זהו גם העולם שבו מצויות האהבה, הקנאה והדעות הקדומות, כשם שמצויות בו תפיסותינו את המוסיקה, את ריחות האוכל ואת הפחד. העולם השני הוא זה שאנו נוהגים לכנותו בשם "המציאות הפיסית". פרחים ממשיים, גלולות אספירין, עננים לבנים ומטוסי סילון שוכנים בעולם הזה, וכמוהם גם גלקסיות, כוכבי לכת, אטומים, לבבותיהם של בבונים ומוחותיהם של בני־אדם. עולם הצורות המתימטיות האפלטוני, שיש לו בעיני פנרוז קיום ממשי לא פחות מזה של העולם הפיסיקלי והשׂכלי, הוא מכורת המתימטיקה.

זהו העולם שבו תמצאו את המספרים הטבעיים 1, 2, 3, 4,..., את כל הצורות והמשפטים של הגיאומטריה האוקלידית, את חוקי התנועה של ניוטון, את תורת המיתרים, את תורת הקטסטרופה ואת המודלים המתימטיים של התנהגות הבורסה. ומכאן, מציין פנרוז, נובעות שלוש התעלומות. ראשית, עולם המציאות הפיסית מציית ככל הנראה לחוקים השוכנים למעשה בעולם הצורות המתימטיות. זוהי החידה שכה התמיהה את איינשטיין, כשם שהפליאה את הפיסיקאי יוג'ין וִיגנֶר (1902-1995), חתן פרס נובל:

נס התאמתה של שפת המתימטיקה לניסוחם של חוקי הפיסיקה היא מתנה נפלאה שאיננו יכולים להבינהּ, כשם שאיננו ראויים לה. עלינו להכיר תודה עליה ולקוות שתישאר בתוקפה במחקרי העתיד - ואף תתרחב, לטוב ולרע, להנאתנו, אם כי אולי גם לתמיהתנו, אל תחומים נרחבים של הדעת.

שנית, הרוח עצמה התופסת את הדברים - משכן תפיסותינו המוּדעות - מצליחה איכשהו להגיח מתוך העולם הפיסי. כיצד זה נולדת הרוח, פשוטו כמשמעו, מתוך חומר? האם נצליח אי־פעם לנסח תיאוריה של פעולת התודעה אשר תהיה מגובשת ומשכנעת ממש כמו, נאמר, התיאוריה האלקטרומגנטית שבה אנו מחזיקים עכשיו? ולבסוף, המעגל נסגר באורח מסתורי. אותן רוחות התופסות את הדברים, מסוגלות באורח פלא לזכות בגישה אל העולם המתימטי, על־ידי־כך שהן מגלות או יוצרות ומנסחות במפורש אוצר של צורות ומושגים מתימטיים מופשטים.

פנרוז אינו מציע הסבר אף לאחת משלוש התעלומות הללו. תחת זאת הוא מסכם את הדברים בלשון לקונית: "בלי ספק יש בפועל לא שלושה עולמות אלא אחד, שאת טיבו האמיתי איננו יכולים כלל לראות כרגע." בהודאה זו יש הרבה יותר ענווה מאשר בתשובתו של המורה במחזה מקץ ארבעים שנה (פרי עטו של המחבר האנגלי אלן בֶּנֶט) על שאלה דומה במקצת:

פוסטר: עניין השילוש לא לגמרי ברור לי, המורה.
המורה: שלושה שהם אחד, אחד שהוא שלושה, פשוט לגמרי. אם יש לך עוד ספקות, גש למורה למתימטיקה.

למען האמת, התהייה עוד הרבה יותר סבוכה מכפי שתיארתי אותה עד כה. למעשה, יש שני פנים להצלחתה של המתימטיקה בהסברת העולם הסובב אותנו (הצלחה שאותה כינה ויגנר "האפקטיביות הבלתי־סבירה של המתימטיקה"), וכל אחד מהם מדהים יותר ממשנהו. ראשית ישנו ההיבט שנוכל לכנותו "פעיל". כשהפיסיקאים משוטטים במבוכיו של הטבע, המתימטיקה היא הנר לרגליהם - הכלים שהם מפתחים ומשתמשים בהם, המודלים שהם בונים וההסברים שהם מפיקים, כל אלה הם מתימטיים בטבעם. ולכאורה, זהו נס בפני עצמו. ניוטון צפה בתפוח נופל, בירח ובגיאות ובשפל על שפת הים (אם כי אינני משוכנע שהוא ראה שפת ים מימיו...) - הוא לא צפה במשוואות מתימטיות.

ובכל זאת עלה בידו, איכשהו, להפיק מכל תופעות הטבע הללו חוקי טבע ברורים, מצומצמים ומדויקים במידה שלא תיאמן. בדומה לכך, כשניגש הפיסיקאי הסקוטי ג'יימס קלַרק מַקסוֶול (1831-1879) להרחיב את מסגרת הפיסיקה הקלסית כך שתחבוק את מלוא התופעות החשמליות והמגנטיות שהיו ידועות בשנות השישים של המאה התשע־עשרה, הוא עשה זאת באמצעות ארבע משוואות מתימטיות בלבד. חִשבו על כך לרגע. הסברת אוסף של תוצאות ניסויים באלקטרומגנטיות ובאור, שבעבר מילאה כרכים שלמים, הצטמצמה לארבע משוואות קצרצרות. תורת היחסות הכללית של איינשטיין מדהימה עוד יותר - זוהי דוגמה מושלמת לתיאוריה מתימטית מדויקת במידה יוצאת מן הכלל ועקבית המתארת דבר־מה בסיסי מאין כמוהו, מבנה המרחב והזמן. אבל יש גם צד "סביל" לאפקטיביות המסתורית של המתימטיקה, והוא מפתיע עד־כדי־כך שההיבט ה"פעיל" מחוויר לעומתו. מושגים ויחסים שהמתימטיקאים חוקרים רק למען המתימטיקה הטהורה - בלי שום מחשבה כלל על יישומם - מתגלים כעבור עשרות שנים (ולפעמים מאות שנים) כפתרונותיהן הלא־צפויים של בעיות המעוגנות במציאות הפיסיקלית! כיצד ייתכן הדבר? ראו לדוגמה את סיפורו המשעשע במקצת של המתימטיקאי הבריטי התימהוני גודפרי הרולד הַארדִי (1877-1947).

הוא התגאה מאוד בכך שעבודתו אינה אלא מתימטיקה טהורה, ואף הכריז בהטעמה: "שום תגלית מתגליותַי, אין בה וקרוב לוודאי שלעולם לא יהיה בה, במישרין או בעקיפין, לטוב או לרע, שמץ של תועלת לטובת העולם." וראו זה פלא - טעות הייתה בידו. אחת מעבודותיו התגלגלה והפכה להיות חוק הארדי־ויינברג (הקרוי על שמם של הארדי ושל הרופא הגרמני וילהלם ויינברג [1862-1937]), עיקרון בסיסי המשמש את הגנטיקאים בחקר האבולוציה של אוכלוסיות. במילים פשוטות, חוק הארדי־ויינברג קובע שאם אוכלוסייה גדולה מזדווגת באורח אקראי (ואם אין בה הגירה, מוטציה וברירה), אזי הרכבה הגנטי נשאר קבוע מדור לדור. אפילו עבודתו המופשטת לכאורה של הארדי בתורת המספרים - חקר תכונותיהם של המספרים הטבעיים - מצאה יישומים לא־צפויים.

ב־1973 השתמש המתימטיקאי הבריטי קליפורד קוֹקס בתורת המספרים לפריצת דרך חשובה בהצפנה. תגלית קוקס גם הפריכה עוד אחת מהצהרותיו של הארדי. בספרו המפורסם התנצלותו של מתימטיקאי, שיצא לאור ב־1940, הכריז הארדי: "איש לא מצא עדיין תכלית צבאית כלשהי שתורת המספרים משרתת אותה." אין צורך לומר ששוב הייתה טעות בידו. להצפנה יש חשיבות מאין כדוגמתה בתקשורת צבאית. ובכן, אפילו הארדי, אחד ממבקריה החריפים ביותר של המתימטיקה היישומית, "נגרר" (על אפו ועל חמתו, מן הסתם, אילו היה עדיין בארצות החיים) ליצירתן של תיאוריות מתימטיות שימושיות.

וזוהי רק ההתחלה. קפלר וניוטון גילו כי כוכבי הלכת במערכת השמש שלנו נעים במסלולים שצורתם אליפטית - אותן עקומות עצמן שחקר אלפיים שנה לפני־כן המתימטיקאי היווני מֶנֵייכמוֹס (שהיה כנראה בן אמצע המאה הרביעית לפנה"ס). הסוגים החדשים של גיאומטריות שתיאר גאורג פרידריך ברנהרד רִימָן (1826-1866) בהרצאתו הקלסית מ־1854, התברר, היו בדיוק הכלים שנדרשו לאיינשטיין כדי להסביר את מארג הקוסמוס. "שפה" מתימטית הקרויה תורת החבורות, שאותה פיתח נער הפלא אֶוָורִיסט גָלוּאָה (1811-1832) רק כדי לבדוק אם משוואות אלגבריות מסוימות הן פתירות או לא־פתירות, משמשת כיום פיסיקאים, מהנדסים, בלשנים ואפילו אנתרופולוגים לתיאור כל הסימטריוֹת שבעולם.

זאת ועוד, החשיבה על תבניות של סימטריה מתימטית הפכה, במובן ידוע, את כל התהליך המדעי על ראשו. במשך מאות שנים, הדרך להבנת פעולתו של הקוסמוס התחילה באיסוף עובדות בתצפית או בניסוי, ומתוכן, בשיטות של ניסוי וטעייה, חתרו המדענים לניסוחם של חוקי טבע כלליים. הדרך הייתה קבועה - תצפיות מקומיות תחילה, ובהמשך בניית התצרף פיסה אחר פיסה. משהובהר במרוצת המאה העשרים שבבסיס מבנהו של העולם התת־אטומי מצויות מתכונות מתימטיות מוגדרות היטב, החלו הפיסיקאים של זמננו ללכת בדרך ההפוכה בדיוק. הם הציבו את עקרונות הסימטריה המתימטית בפתיחה, טענו כי חוקי הטבע ואבני הבניין של החומר צריכים לנהוג לפי מתכונות מסוימות, והסיקו את החוקים הכלליים מתוך הדרישות הללו. מנין יודע הטבע שעליו לציית לסימטריות המתימטיות המופשטות הללו?

ב־1975 ישב מיץ' פייגנבאום, שהיה אז פיסיקאי מתימטי צעיר במעבדה הלאומית לוס אלמוס, והשתעשע במחשבון הכיס שלו, HP-65. הוא בדק את התנהגותה של משוואה פשוטה, והבחין כי רצף מספרים מסוים שהופיע בחישוביו הולך ומתקרב בהתמדה אל מספר מסוים אחד: ...4.669. למרבה השתוממותו, כשבדק משוואות אחרות, שב והופיע אותו מספר מסקרן. לא עבר זמן רב בטרם הגיע פייגנבאום לכלל מסקנה שתגליתו מייצגת משהו אוניברסלי, המציין איכשהו את המעבר מסדר לכאוס, אף־על־פי שלא עלה בידו להסבירו. שלא במפתיע, הפיסיקאים גילו ספקנות רבה בהתחלה.

אחרי ככלות הכול, מדוע צריך מספר אחד ויחיד לאפיין התנהגות המופיעה במערכות שונות לגמרי זו מזו? אחרי חצי שנה של שיפוט מקצועי, נדחה המאמר הראשון שביקש פייגנבאום לפרסם בנושא זה. אבל זמן לא־רב אחר־כך נמצא בניסוי כי כאשר מחממים הליום נוזלי מלמטה, הוא מתנהג בדיוק בדרך שמנבא הפתרון האוניברסלי של פייגנבאום. ועוד נמצא שאין זו המערכת היחידה המתנהגת כך. המספר המופלא של פייגנבאום הופיע גם במעבר מזרימה סדירה של זורם לזרימה מעורבלת, ואפילו בהתנהגות המים היוצאים מברז דולף.

רשימת המקרים שבהם "הטרימו" המתימטיקאים את צורכיהם של תחומים שונים בדורות מאוחרים יותר מתארכת הלאה והלאה. אחת הדוגמאות המרתקות ביותר של משחק הגומלין המסתורי והלא־צפוי בין המתימטיקה לבין העולם הממשי (הפיסי) מצויה בתולדותיה של תורת הקשרים - החקר המתימטי של קשרים במובנה הפשוט ביותר של המילה, כגון קשר סבתא. הקשר המתימטי דומה לקשר בחוט, אלא ששני קצות החוט מאוחים יחדיו. עד כמה שהדבר נשמע מוזר, את הדחף העיקרי לפיתוחה של תורת הקשרים במתימטיקה סיפק מודל שגוי של האטום שפותח במאה התשע־עשרה.

גם אחרי שנזנח המודל - רק כעשרים שנה אחרי הולדתו - המשיכה תורת הקשרים להתפתח, כענף אלמוני יחסית של המתימטיקה הטהורה. והנה, הפלא ופלא, המפעל המופשט הזה מצא לו פתאום יישומים נרחבים בזמננו, בתחומים המשתרעים מהמבנה המולקולרי של הדנ"א ועד לתורת המיתרים - הניסיון למזג את העולם התת־אטומי עם הכבידה. אני עומד לחזור לסיפור המופלא הזה בפרק 8, משום שההיסטוריה המעגלית שלו היא אולי ההמחשה הטובה ביותר לדרכים שבהם עשויים ענפי מתימטיקה לצמוח מתוך ניסיונות להסביר את המציאות הפיסית, להמשיך בדרכם אל תוך נבכיה המופשטים של המתימטיקה ולחזור שוב, במפתיע, אל כור מחצבתם.

המצאה או תגלית?
כבר התיאור הקצר שהוצג עד כאן מספק ראיות משכנעות לכך שהיקום כפוף לשלטונה של המתימטיקה, או לכל הפחות ניתן לפענוח באמצעות המתימטיקה. כפי שעתיד הספר הזה להראות, חלק ניכר מהמפעל האנושי, אם לא כל כולו, נובע מתוך יכולת בסיסית לעסוק במתימטיקה, המתגלית אפילו במקומות הפחות צפויים מכול. ראו למשל דוגמה מעולם הפיננסים - נוסחת בּלֶק־שׁוֹלס לתמחור אופציות (1973). המודל של בלק ושולס זיכה את מפתחיו (מיירון שולס ורוברט קרהרט מֶרטוֹן; פישר בלק הלך לעולמו לפני מתן הפרס) בפרס נובל לכלכלה. המשוואה המרכזית של המודל מאפשרת למשתמשים בו להבין את תמחורה של אופציית מניות (אופציות הן מכשירים פיננסיים המאפשרים את מכירתן ואת קנייתן של מניות בזמן מסוים בעתיד, במחיר מוסכם מראש). וכאן צצה עובדה מפתיעה. בלב המודל נמצאת תופעה שהפיסיקאים חוקרים אותה זה עשרות רבות של שנים - התנועה הבראונית, מצב התנועה הנמרצת שמפגינים חלקיקים זעירים, כגון גרגרי אבקת פרחים כשהם מרחפים במים או חלקיקי עשן באוויר. זאת ועוד, כאילו אין די בכך, אותה משוואה עצמה ישׂימה גם לתנועתם של מאות אלפי כוכבים בצבירי כוכבים. האין זה, כלשונה של אליס בארץ הפלאות, "מוזר ומוזריים"? אחרי ככלות הכול, גם אם נניח לקוסמוס לנהוג כרצונו, עולם העסקים והפיננסים הוא בפירוש פרי רוחו של האדם.

ראו עוד בעיה שכיחה שנתקלים בה יצרני לוחות אלקטרוניים ומעצבי מחשבים. הם משתמשים במקדחי לייזר לניקוב רבבות חורים בכרטיסיהם. כדי לחסוך בעלויות, מעצבי המחשבים אינם רוצים שמקדחיהם יתנהגו כמו "תיירים מזדמנים". לפיכך הבעיה היא למצוא את ה"נתיב" הכי קצר בין החורים, אשר יביא את המקדח למקומו של כל חור פעם אחת ולא יותר. מתברר שהמתימטיקאים כבר חקרו את הבעיה הזאת עצמה החל משנות העשרים של המאה העשרים, ואף נתנו לה שם, בעיית הסוכן הנוסע.

עיקרה הוא כדלקמן: אם סוכן מכירות - או פוליטיקאי במסע בחירות - צריך לעבור בין מספר נתון של ערים, ואם הוא מבקש לעשות זאת בדרך החסכונית ביותר, ואם ידועים דמי הנסיעה בין כל שתי ערים, כיצד יוכל הנוסע לחשב ולמצוא את הדרך הכי זולה לבקר בכל הערים הללו ולחזור לנקודת המוצא? בעיית הסוכן הנוסע נפתרה עבור 49 ערים בארצות הברית ב־1954, וב־2004 הוצג פתרונה עבור 24,978 ערים ועיירות בשוודיה. במילים אחרות, תעשיית האלקטרוניקה, החברות המנתבות משאיות להובלת חבילות ואפילו היצרנים היפנים של מכונות פָּצִ'ינקוֹ הדומות לפינבול (שיש בהן אלפי מסמרים) נאלצים להסתייע במתימטיקה בעניינים פשוטים כמו קידוח חורים, בניית לוחות זמנים לנסיעה או עיצובם הפיסי של מחשבים.

המתימטיקה חדרה אפילו לתחומים שאינם קשורים, מכוח המסורת, למדעים המדויקים. לדוגמה, יש כתב־עת בשם ביטאון הסוציולוגיה המתימטית (Journal of Mathematical Sociology), שהגיע לכרך השלושים שלו ב־2006; הוא חותר להבנה מתימטית של מבנים חברתיים מסובכים, ארגונים וקבוצות לא־פורמליות. המאמרים המתפרסמים בו עוסקים בשלל בעיות, החל במודל מתימטי לניבוי דעת הקהל וכלה במודל לניבוי פעילויות הגומלין בקבוצות חברתיות.

בכיוון ההפוך - ממתימטיקה למדעי הרוח - תחום הבלשנות החישובית, שבתחילה עסקו בו רק אנשי מדעי המחשב, נהפך עתה למפעל מחקרי רב־תחומי המאגד בלשנים, פסיכולוגים קוגניטיביים, לוגיקנים ומומחים לבינה מלאכותית, המתעמקים כולם בנבכי הלשונות הטבעיות ובהתפתחותן.

האם מישהו מתעתע בנו במשובה, באופן כזה שכל המאמץ האנושי לתפוס ולהבין מוליך בסופו של דבר לחשיפת ענפים יותר ויותר סבוכים של המתימטיקה, שעל בסיסם נוצר היקום ונוצרנו אנו, יצוריו המורכבים? האם המתימטיקה היא, כפי שנוהגים לומר אנשי החינוך, ספר הלימוד הנסתר - זה שהפרופסורים מלמדים מתוכו בעודם מוסרים לסטודנטים שלהם גרסה נחותה מאוד שלו, על־מנת שהם עצמם ייראו חכמים יותר? או שמא המתימטיקה היא, אם נשתמש במטאפורה מקראית, פריו הנשגב של עץ הדעת?

כפי שציינתי בקצרה בתחילת הפרק, האפקטיביות הבלתי־סבירה של המתימטיקה מעמידה הרבה חידות מסקרנות: האם יש למתימטיקה קיום שאינו תלוי בשום דרך בשׂכל האדם? במילים אחרות, האם אנו בסך הכול מגלים אמיתות מתימטיות, כפי שהאסטרונומים מגלים גלקסיות שלא נודעו עד כה? או שמא המתימטיקה אינה אלא המצאה אנושית? אם אמנם יש קיום למתימטיקה באיזו ארץ אגדית מופשטת, מהי הזיקה בין העולם המיתי הזה לבין המציאות הפיסית? כיצד זה זוכה מוח האדם, שמגבלותיו ידועות לנו היטב, בגישה לעולם הזה החסין מפני שינוי, המצוי מחוץ למרחב ולזמן? מאידך גיסא, אם המתימטיקה אינה אלא המצאה אנושית ואין לה כל קיום מחוץ לשׂכלנו, כיצד נסביר את העובדה שהמצאתן של אמיתות מתימטיות כה רבות הטרימה באורח פלא שאלות על הקוסמוס ועל חיי האדם שאפילו לא נוסחו בטרם חלפו מאות שנים? אין אלה שאלות קלות. כפי שאני עתיד להראות שוב ושוב בספר זה, אפילו המתימטיקאים, חוקרי הקוגניציה והפילוסופים של ימינו מתקשים להגיע לכלל הסכמה בסוגיות אלה. אלן קוֹן, המתימטיקאי הצרפתי שזכה בשני הפרסים היוקרתיים ביותר במתימטיקה, עיטור פילדס (1982) ופרס קרָפוֹרד (2001), התבטא בעניין זה בבהירות רבה ב־1989:

ראו לדוגמה את המספרים הראשוניים [מספרים המתחלקים רק ב־1 ובעצמם], שבעיני מהווים מציאות יציבה יותר מהמציאות החומרית הסובבת אותנו. אפשר להמשיל את המתימטיקאי הפעיל לחוקר נוסע היוצא לגלות את העולם. אנו מגלים עובדות בסיסיות מתוך ההתנסות. בעשותנו חישובים פשוטים, לדוגמה, מתברר לנו כי סדרת המספרים הראשוניים נמשכת לה עד בלי קץ, ככל הנראה. כיוון שכך, תפקידו של המתימטיקאי הוא להוכיח שיש בנמצא אינסוף מספרים ראשוניים. אין צורך לומר שזוהי תוצאה עתיקה, שאותה אנו מייחסים לאוקלידס. אחת ההשלכות המעניינות ביותר של הוכחה זו שאם יבוא מישהו ויטען יום אחד כי מצא את המספר הראשוני הגדול ביותר, נוכל להראות בקלות שטעות בידו. והוא הדין בכל הוכחה. מכאן שאנו עומדים בפני מציאות שהיא בלתי־מעורערת ממש כמו המציאות הפיסית.

מרטין גַרדנֶר, מחברם המפורסם של ספרים רבים בתחום המתימטיקה הבידורית, דוגל אף הוא בגישה הרואה במתימטיקה תגלית. בעיניו, אין כלל ספק בכך שהמספרים והמתימטיקה מחוננים בקיום משלהם, אם מכיר אותם האדם ואם לאו. כפי שאמר בשנינות, "אם שני דינוזאורים הצטרפו לשני דינוזאורים אחרים בקרחת יער, היו שם ארבעה מהם - גם אם לא היו בנמצא בני־אדם שיצפו בהם, וגם אם החיות עצמן היו טיפשות מכדי שידעו זאת." כפי שהטעים קוֹן, תומכיה של השקפת "המתימטיקה כתגלית" (העולה בקנה אחד, כפי שעוד נראה, עם השקפת אפלטון) מציינים כי מרגע שהטמענו מושג מתימטי כלשהו, למשל המספרים הטבעיים 1, 2, 3, 4,..., אזי ניצבות בפנינו עובדות שאין להכחישן, כמו 32 + 42 = 52, ואין זה משנה כלל מהי דעתנו על היחסים האלה. לכל הפחות, הדבר מעורר את הרושם שאנו מצויים במגע עם מציאות קיימת.

אחרים חולקים על הדעה הזאת. בביקורתו על ספר שבו הציג קוֹן את רעיונותיו העיר המתימטיקאי הבריטי סר מייקל עטייה (שזכה בעיטור פילדס ב־1966 ובפרס אַבֶּל ב־2004):

כל מתימטיקאי חייב להבין ללבו של קון. כולנו חשים כי המספרים השלמים, או המעגלים, אמנם קיימים באיזה מובן מופשט, וכי ההשקפה האפלטונית [שתתואר בפירוט בפרק 2] מפתה עד מאוד. ובכל זאת, האם יכולים אנו להגן עליה באמת ובתמים? אילו היה היקום חד־ממדי, או אפילו בדיד, קשה לראות כיצד הייתה הגיאומטריה יכולה להתפתח.

אולי נראה כאילו אנו ניצבים על קרקע מוצקה יותר כשאנו עוסקים בשלמים, וכי המנִייה היא באמת מושג קמאי. אבל הבה נדמיין לעצמנו שהבינה השתכנה לא במוח האדם אלא באיזו מדוזה ענקית, בודדה ומבודדת במעמקי האוקיינוס השקט. לא תהיה לה כל התנסות בעצמים נפרדים לעצמם, אלא רק במים הסובבים אותה. תנועה, טמפרטורה ולחץ יהיו הנתונים החושיים הבסיסיים שלה. ברצף טהור מעין זה, הבדיד לא יופיע כלל, ולא יהיה מה למנות.

לכן סבור עטייה כי "האדם יצר את המתימטיקה [ההדגשה שלי] על־ידי אידיאליזציה והפשטה של גורמים מהעולם הפיסי." הבלשן ג'ורג' לֵייקוֹף והפסיכולוג רפאל נוּניֵיז שותפים לדעתו. בספרם מנין באה המתימטיקה הם קובעים: "המתימטיקה היא חלק טבעי של ההוויה האנושית. היא נובעת מגופנו, ממוחנו ומהתנסותנו היומיומית בעולם."

השקפת עטייה, לייקוף ונונייז מעוררת עוד שאלה מעניינת. אם המתימטיקה היא המצאה אנושית מכול וכול, האומנם היא אוניברסלית? במילים אחרות, אם יש בנמצא ציוויליזציות מחוץ לעולמנו, האם הן המציאו את אותה המתימטיקה? קרל סֵייגְן (1934-1996) חשב שהתשובה לשאלה זו חיובית. בספרו קוסמוס, במהלך הדיון בטיבם של אותות שציוויליזציה תבונית הייתה משדרת לחלל, כתב סייגן: "הסיכוי לכך שתהליך פיסיקלי טבעי כלשהו יביא לשידור אותות רדיו המכילים אך ורק מספרים ראשוניים רחוק מאוד מלהתקבל על הדעת.

אם נקלוט שדר כזה, נסיק ממנו על קיומה של ציוויליזציה שם בחוץ, שהיא לפחות כרוכה אחר מספרים ראשוניים." אבל עד כמה ודאי הדבר? בספר שפרסם לא מזמן הפיסיקאי המתימטי סטיבן ווֹלפרָם, מדע מסוג חדש, מופיעה הטענה שהקרוי בפינו "המתימטיקה שלנו" אולי מייצג רק אפשרות אחת מתוך מבחר עשיר של "זנים" של מתימטיקה. לדוגמה, במקום שימוש בכללים המבוססים על משוואות מתימטיות לתיאור הטבע, היינו יכולים להשתמש בכללים מסוג אחר, המתגלמים בתוכניות מחשב פשוטות. זאת ועוד, כמה קוסמולוגים החלו לדון בזמן האחרון אפילו באפשרות שיקומנו אינו אלא אחד ממרכיביו של רב־יקום - מכלול ענקי של יקומים. אם אמנם קיים רב־יקום כזה, האומנם רשאים אנו לצפות שבשאר היקומים תימצא אותה המתימטיקה?

הביולוגים המולקולריים וחוקרי הקוגניציה מניחים על שולחן הדיונים השקפה אחרת לגמרי, המבוססת על חקר יכולותיו של המוח. בעיני אחדים מהחוקרים האלה, המתימטיקה אינה שונה מאוד מהשפה. במילים אחרות, לפי התרחיש ה"קוגניטיבי" הזה, אחרי עידנים של התבוננות בשתי ידיים, בשתי עיניים ובשני שדיים הגיעו בני־האדם לכלל הגדרה מופשטת של המספר 2, כדרך שהמילה "ציפור" נעשתה הייצוג המשותף של מינים רבים של בעלי־חיים המסוגלים להתעופף. כפי שאמר חוקר מדעי העצָב הצרפתי ז'אן־פייר שָׁאנזֶ'ה, "בעיני, השיטה האקסיומטית [המשמשת בין היתר בגיאומטריה האוקלידית] היא ביטויָן של יכולות מוחיות הקשורות לשימוש שעושה האדם במוחו.

כי מה שמאפיין שפה הוא בדיוק זה, האופי הגנרטיבי שלה." אבל אם המתימטיקה אינה אלא עוד שפה, כיצד נסביר את העובדה שכל הילדים לומדים שפות בקלות, אבל רבים מהם מתקשים מאוד בלימוד המתימטיקה? ילדת הפלא הסקוטית מרג'ורי פלֶמינג (1803-1811) סיפקה תיאור מקסים של הקשיים שמתקשים בהם תלמידים בהתמודדותם עם המתימטיקה. פלמינג, שלא זכתה להגיע ליום הולדתה התשיעי, השאירה אחריה יומנים המקיפים יותר מתשעת אלפי מילים בפרוזה וחמש־מאות חרוזי שיר. באחד המקומות התאוננה: "עכשיו אני אספר לך על הצרות הנוראות והמחרידות שגורם לי לוח הכפל; תתקשה לתפוס את זה. הדבר הכי שטני הוא 8 כפול 8 ו־7 כפול 7; זה דבר שהטבע עצמו לא יכול לסבול."

אחדים ממרכיביהן של השאלות הסבוכות שהצגתי ניתנים לניסוח שונה בצורתו: האם יש איזה הבדל בסיסי בטיבו בין המתימטיקה לבין שאר ביטוייה של רוח האדם, כגון האמנויות הפלסטיות או המוסיקה? אם אין, מדוע זה מפגינה המתימטיקה לכידות ועקביות כה מרשימות, שאינן קיימות כמדומה בשם יצירה אנושית אחרת? הגיאומטריה האוקלידית, לדוגמה, עודה נכונה כיום (היכן שמשתמשים בה) כפי שהייתה בשנת 300 לפני הספירה; היא מייצגת "אמיתות" שנכפו עלינו. לעומת זאת, איננו מחויבים להאזין למוסיקה שהיוונים העתיקים הקשיבו לה, כשם שאיננו מחויבים להחזיק במודל היקום הנאיבי של אריסטו.

כמעט לא תמצאו היום תחומי מדע שעדיין משתמשים ברעיונות בני שלושת אלפים שנה, ואילו המחקרים החדישים ביותר במתימטיקה עשויים לאזכר משפטים שפורסמו לפני שנה או לפני שבוע, אבל בה-בעת, הם עשויים גם לכלול את הנוסחה לשטח הפנים של כדור, שאותה הוכיח ארכימדס בסביבות שנת 250 לפנה"ס! מודל הקשרים של האטום שנוצר במאה התשע־עשרה החזיק מעמד עשרים שנה בקושי, משום שתגליות חדשות הוכיחו כי חלקים מהתיאוריה היו שגויים. ככה המדע מתקדם. ניוטון זקף (או אולי לא זקף...? ראו בפרק 4) את חזונו הכביר לזכותם של הענקים שעל כתפיהם ניצב. בה־במידה היה עליו להתנצל בפני אותם ענקים שאת עבודתם הפריך מכול וכול.

אבל לא כך פועלת המתימטיקה. גם אם הפורמליזם הדרוש להוכחת תוצאות מסוימות עשוי להשתנות, התוצאות המתימטיות עצמן אינן משתנות. למעשה, כדברי המתימטיקאי והמחבר איאן סטיוארט, "יש מילה במתימטיקה לתוצאות קודמות שהשתנו לאחר זמן - הן נקראות, במילה אחת, שגיאות." ושגיאות כאלה מוכרזות כשגיאות לא בגלל ממצאים חדשים, כפי שקורה בשאר המדעים, אלא בגלל התעמקות קפדנית ודקדקנית יותר באותן האמיתות המתימטיות העתיקות עצמן. כיוון שכך, האם המתימטיקה היא באמת ובתמים שפתו הטבעית של אלוהים?

אם אתם חושבים שבירור השאלה האם המתימטיקה הומצאה או התגלתה אינו חשוב, ראו איך הופכת ההבחנה בין "המצאה" לבין "תגלית" לשאלה טעונה, כאשר מציגים את השאלה הבאה: האם אלוהים הומצא או התגלה? או בניסוח פרובוקטיבי עוד יותר: האם אלוהים ברא את האדם בצלמו ובדמותו, או שמא המציא האדם את אלוהים בצלמו ובדמותו שלו?

אני עומד להתמודד בספר זה עם רבות מהשאלות המסקרנות האלה (ועם לא מעט שאלות נוספות) ועם מאמצי הפרך לתת להן תשובות. תוך־כדי־כך אציג תובנות שנרכשו מעבודתם של אחדים מגדולי המתימטיקאים, הפיסיקאים, הפילוסופים, חוקרי הקוגניציה והבלשנים של המאה הנוכחית ושל מאות קודמות. ועוד אבקש את דעותיהם, את אזהרותיהם ואת הסתייגויותיהם של הוגי דעות רבים מבני דורנו. נפתח את המסע המרתק הזה בהשקפותיהם של אחדים מהפילוסופים הקדומים ביותר, פורצי הדרכים החדשות.

© כל הזכויות שמורות לאריה ניר הוצאה לאור

האם אלוהים הוא מתימטיקאי מתמטיקאי? - מריו ליביו
Is God A Mathematician - Mario Livio


לראש העמוד

מומלצים: ספרים | כתב עת ספרים | עולם חדש | רמקולים | זכות הילד לכבוד
| סמיוטיקה | מטר | רמות | Tom | דלילה | גד ויספלד | מיקרוטופינג

ספרים חדשים באוגוסט 2019:
אולטימטום, אי אפשר לברוח מהשמש, אלוהים אתה שם? זאת מרגרט, אמש, לילה אחרון, בין המולדות, במקום גרניום, גיא בן הינום, גשם חייב לרדת, דוניא, האוויר שאת נושמת, האיש שלא שרף את קפקא, האישה שלא הייתה, האלמנה השחורה, הזנה רעילה, הכד השחור: רומן משפחתי, הכלה מאיסטנבול, המיסה של האתאיסט, המשהו הזה, הסבך, השועלים של שמשון, וינה 1900 , חוק 5 השניות, חיים לנצח, יפים כמו שהיינו, לֻזוּמִּיַאת: התחייבויות וחובות מופרים, לא העזנו לדעת, לאהוב מחדש, לקראת אוטוביוגרפיה מינורית, מבוסס על סיפור אמיתי, מסע דילוגים, מרלנה, נהר הקרח, נשים ללא גברים, סודות, סוכרי יוסי - אמזלג, סטארט אפ, סער ופרץ, ספר געגועים, עגלות , עוד לילה אחד, עינה של האורקל, על מקום הימצאה, עצי לבנה ומסילות ברזל, פול אוסטר 4321, פיצות,איקאה ודילמת האיש השמן, ציפור בעיר קדושה, רומן, רשימת המוזמנים, שמיים שאין להם חוף.

ספרים חדשים

סמיוטיקה - בניית אתרים, עיצוב אתרים
* * *