» טקסט  » מדעי אדם וטבע  » ספרים חדשים בפברואר 2007       חזור

האיש שידע יותר מדי - אלן טיורינג והמצאת המחשב
מאת: דיוויד לוויט
The Man Who Knew Too Much: Alan Turing and the Invention of the Computer - David Leavitt

ההוצאה: אריה ניר אלן טיורינג נחשב לאבי המחשב והבינה המלאכותית. היה בו שילוב נדיר של מתמטיקאי תיאורטיקן ואיש מעשה, שהיה מעורב אישית בבנייה של מכונות החישוב שתכנן. פריצת הדרך לבניית מכונת חישוב ממשית הוגשמה כאשר טיורינג, יחד עם צוות של מדענים והוגים, בנו מתקנים שנועדו לפצח את צופן האניגמה של הנאצים ובכך קידמו את ניצחון בעלות-הברית במלחמת העולם השנייה. כבר בעבודת הדוקטורט שלו, בשנת 1936, התמודד טיורינג עם אחד האתגרים המתמטיים הגדולים של התקופה - בעיית הכּריעוּת", והציע, באופן תיאורטי, בניית מכונת חישוב ניתנת לתכנות.

לאחר המלחמה, הפך טיורינג לנושא הדגל של הבינה המלאכותית וניסח את מבחן טיורינג המפורסם, הקורא תיגר על תפיסות המודעות האנושית שלנו. ואולם, המדען שהתברך באחד המוחות החריפים ביותר, נחשב גם לאדם תימהוני, בעל נפש נסערת.

גישתו בנוגע לרמת התבונה האפשרית של מכונה שתוכל ללמד את עצמה, ליזום ולהסיק מסקנות ועצם האפשרות שהמחשב יעלה על האדם וישתלט על העולם, עוררו התנגדות רבה. גם עובדת היותו הומוסקסואל, שאליה התייחס בגילוי לב מפתיע לתקופתו, הקימה לו מתנגדים ואויבים. הוא נעצר בעוון הפרת חוקים אנטי-הומוסקסואליים ונידון ל"טיפול" שהיה בעיקרו סירוס כימי. טיורינג התאבד, ככל הנראה בנגיסת תפוח טבול בציאניד.

דייוויד לוויט הוא סופר ומורה לכתיבה יוצרת באוניברסיטת פלורידה. בחריפות ובאלגנטיות של כתיבה מדעית מסביר דייוויד לוויט את עבודתו המדעית של טיורינג ואת השלכותיה, וברגישות של כתיבה ספרותיות הוא מגולל את סיפור חייו יוצא הדופן. האיש שידע יותר מדי הוא ביוגרפיה-מדעית מרתקת.

האיש שידע יותר מדי, אלן טיורינג והמצאת המחשב מאת דייוויד לוויט בהוצאת אריה ניר, תרגום: יעל סלע-שפירו, ציור עטיפה: כריסטינה קדמון, עיצוב עטיפה: אורנה בן שושן, ייעוץ מדעי למהדרה העברית: מיקי אלעזר, 271 עמודים.

1 | האיש בחליפה הלבנה
בקומדיה האיש בחליפה הלבנה, שביים בשנת 1951 הבמאי אלכסנדר מק'קֶנדריק, מגלם אלֶק גינס את דמותו של סידני סטראטון, כימאי חששן ואפילו ילדותי, אשר יוצר בד שלעולם איננו מתרפט ומתלכלך. המצאתו נחשבת לפריצת דרך - עד הרגע שבו מגלים הן בעליו של בית החרושת לטקסטיל המעסיק את סטראטון והן חברי האיגודים המקצועיים המייצגים את חבריו לעבודה, שבגלל ההמצאה הזאת הם עלולים לאבד את מקום העבודה שלהם. במהרה מחליטים היריבים הנצחיים לעשות יד אחת כדי ללכוד את סטראטון ולהשמיד את הבד שלו, שממנו תפורה החליפה הלבנה שהוא לובש. הם רודפים אחריו, דוחקים אותו לפינה ונדמה שהם עומדים לרצוח אותו, אך ברגע האחרון מתחילה החליפה להתפורר. הכישלון הוא שמושיע אפוא את סטראטון מזעמה של התעשייה שעליה מאיימת המצאתו, ומציל את התעשייה שלרגע נדמה שאבד עליה כלח.

מובן מאליו כי כל הקבלה בין סידני סטראטון לבין אלן טְיוּרינג - המתמטיקאי האנגלי, ממציאו של המחשב המודרני ואדריכל המכונה אשר פיצחה את קוד אניגמה הגרמני במלחמת העולם השנייה - היא בלתי מדויקת בהכרח. ראשית, הקבלה שכזאת תובעת לראות בסטראטון (בייחוד בגילומו של גינס העליז) לכל הפחות אב-טיפוס של הומוסקסואל, ולפרש את הרדיפה אחריו כמטאפורה לרדיפת ההומוסקסואלים הכללית שהייתה נפוצה באנגליה עד 1967, השנה שבה בוטל החוק נגד יחסי מין בין גברים בוגרים. פרשנות שכזאת לא תהיה מקובלת מן הסתם על כל מעריציו של הסרט, ורבים מהם יתנגדו לה נחרצות. כדי להשוות בין סידני סטראטון לבין אלן טיורינג, עלינו להתעלם מהבדל מהותי בין שני המדענים: סטראטון נרדף בשל המצאתו, ואילו טיורינג נרדף למרות המצאתו. החליפה הלבנה של סטראטון הייתה כישלון, ואילו המכונות של טיורינג - ההיפותטיות והאמיתיות גם יחד - לא זו בלבד שבישרו את עידן המחשב, הן גם מילאו תפקיד חיוני בניצחונן של בעלות-הברית על גרמניה במלחמת העולם השנייה.

אם כך, מדוע עלינו לטרוח ולהשוות? לדעתי כדאי לטרוח, כי האיש בחליפה הלבנה יכול לשפוך אור על התנאים שעיצבו את מהלך חייו הקצרים של אלן טיורינג: ההומוסקסואליות, המעוף המדעי ואנגליה במחצית הראשונה של המאה העשרים. טיורינג, בדומה לסטראטון, היה אדם תמים, מפוזר ובלתי מודע לכוחות המאיימים עליו. בדומה לסטראטון, הוא עבד לבדו. בדומה לסטראטון, הוא רצה למזג את התיאורטי עם המעשי, לטפל במתמטיקה מנקודת מבט המשקפת את האתוס התעשייתי של אנגליה שבה גדל. ולבסוף, בדומה לסטראטון, טיורינג חשש שהכוחות שראו בו סכנה "יגרשו אותו בחֶרפה מן העולם," בדומה למוריס, גיבור ספר בשם זה שחיבר א"מ פורסטר, אשר חשש כי "יגרשו אותו בחרפה מן העולם" אם תיחשף ההומוסקסואליות שלו. טיורינג הוגדר כסיכון ביטחוני בגלל עבודתו ההירואית במלחמת העולם השנייה, ושנה לאחר יציאתו לאקרנים של האיש בחליפה הלבנה, הוא נאסר באשמת "התנהגות מגונה ביותר" עם גבר אחר. כחלופה לעונש מאסר, נאלץ טיורינג לשאת הליך משפיל של קבלת זריקות אסטרוגן, שמטרתן הייתה "לרפא" אותו. לבסוף, בשנת 1954, התאבד באמצעות נגיסת תפוח שנטבל בציאניד; הייתה זאת מחווה ברורה לתפוח המורעל המופיע באחד הסרטים החביבים עליו, גרסת דיסני לשלגייה ושבעת הגמדים, והכותבים על טיורינג אחרי מותו ייחסו לה משמעות רבה.

בשלהי חייו כתב טיורינג מכתב לידידו נורמן רוּטלֶדג', שבו קישר בין מאסרו לבין הישגיו בהיקש משונה מאוד:

טיורינג מאמין שמכונות יכולות לחשוב
טיורינג שוכב את גברים
לפיכך מכונות אינן יכולות לחשוב

נראה כי טיורינג חשש שההומוסקסואליות שלו תשמש לא רק כדי לקעקע אותו, אלא גם כדי לקעקע את רעיונותיו. כמו כן, בחירתו בביטוי התנ"כי המיושן למדי "שוכב את" (המופיע, למשל, בסיפור בנות לוט) איננה מקרית; טיורינג היה מודע מאוד לכך שגם ההומוסקסואליות שלו וגם אמונתו בבינת המחשב מאיימות על הדת הממוסדת. הוא התעקש להטיל ספק בטענה כי לבני אנוש יש מונופול על החשיבה, ובשל התעקשותו ספג קיתונות של ביקורת בשנות הארבעים של המאה העשרים, אולי מפני שקריאתו להעניק למכונות סיכוי ל"משחק הוגן" צפנה בחובה ביקורת מרומזת על הנורמות החברתיות אשר הפקיעו מאוכלוסייה אחרת - אוכלוסיית הנשים והגברים ההומוסקסואליים - את הזכות לקיום לגיטימי וחוקי.

נראה כי טיורינג יצא מנקודת הנחה שאין כל פְּסוּל בהומוסקסואליות, וזוהי הנחה מפתיעה מאוד לנוכח התקופה שבה גדל והתחנך; מפתיעה עוד יותר היא העובדה כי הנחה זאת חלחלה אפילו לחלק מחיבוריו המתמטיים הסבוכים ביותר. יכולתו ליצור קישורים בלתי צפויים שיקפה במידה מסוימת את טבע דמיונו, שהיה מקורי להדהים כמו גם מילולי להדהים. אך יכולתו זאת שואבת מן ההשכלה שרכש בבית הספר שרבורן, בקינגס קולג' (בתור הזהב של א"מ פורסטר ושל ג'ון מיינארד קיינס) ובאוניברסיטת פְּרינסטון (בתקופה שחלש עליה איינשטיין); מהשתתפותו בקורס המפורסם של ויטגנשטיין על יסודות המתמטיקה; ומעבודתו הסודית למען הממשלה בבּלצ'לי פארק, אשר חייבה אותו להתמודד מדי יום ביומו עם צופן גרמני חמקמק, ובכך אימנה את כושר ההמצאה שלו ודרבנה אותו להגמיש את שכלו, שהיה גמיש למדי מלכתחילה.

למאסרו ולהתאבדותו היו השלכות ארוכות טווח: במשך שנים ארוכות נהוג היה להמעיט מחשיבות תרומתו לפיתוחו של המחשב המודרני ואף להתעלם ממנה כליל; כמו כן, רעיונות שהגה טיורינג יוחסו לא פעם לג'ון פון נוימן. ואכן, רק בזכות חשיפתם של מסמכים מסווגים שנגעו לעבודתו בבלצ'לי פארק, ובזכות הביוגרפיה המקיפה מאת אנדרו הודג'ס שיצאה לאור בשנת 1983, הוענקה להוגה הדגול ההערכה שהיה ראוי לה. ואכן, כיום הוא נחשב לאחד מחשובי המדענים של המאה העשרים. ובכל זאת, מרבית הדיווחים הנפוצים על עבודתו מתעלמים מן ההומוסקסואליות באופן גורף או מציגים אותה כעניין מביך, ובסופו של דבר גם טרגי, שהכתים את הקריירה של טיורינג, שמכל בחינה אחרת הייתה גאונית.

על אלן טיורינג שמעתי לראשונה באמצע שנות השמונים של המאה העשרים, תקופה שבה נהוג היה לראות בו קדוש מעונה שנפל קורבן לאי-הסובלנות של החברה האנגלית. בתיכון אמנם למדתי קורס יסוד בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, אך מאז שהגעתי לקולג' הקפדתי להימנע ממתמטיקה. הקפדתי עוד יותר להתחמק ממדעי המחשב, אף שתלוּתי במחשב הלכה וגברה, כפי שקרה למרבית האמריקנים. אך ככל שקראתי יותר על טיורינג, גיליתי להפתעתי כי עבודתו וחייו מרתקים אותי. בתוך בִּיצה מבעיתה של אותיות יווניות וגרמניות, סמלים לוגיים ונוסחאות מתמטיות שמילאו את דפי מאמריו, הסתתרה פרוזה של סופר פילוסופי וספקולטיבי, אשר לא בחל בתהייה אם מחשב יכול ליהנות מתותים בשמנת, או בפתרון בעיות לוגיות ומייגעות באמצעות מכונה דמיונית הרושמת על סרט נייר אינסופי את הספרות 1 ו-0, או ביישום עקרונותיה של המתמטיקה העיונית לפתרון בעיה מעשית כגון פענוח צופן.

אלן טיורינג גישר על הפער שבין המתמטיקה העיונית, שהינה תחום נידח (בעיני רוב האנשים) ובלתי שימושי להתמוגג, לבין עולם התעשייה, שבו יכולתה של מכונה להכפיל מספרים ראשוניים עצומים, לסרוק עשרות אלפי צירופי אותיות אפשריים כדי למצוא התאמה, או לסייע בתכנון הנדסי של גשר, עשויה להבדיל בין הצלחה לכישלון עסקי, ובחלק מהמקרים גם בין חיים למוות. עם זאת, לא יהיה נכון לטעון שטיורינג ראה בגישור על הפער הזה חובה או שליחות המוטלת עליו; אדרבה, הדרך שעשה מלוגיקה מתמטית לבניית מכונות הייתה דרך מקרית, והמפה היחידה שהשתמש בה הייתה המפה שסיפק לו מוחו המיוחד, שהיה בחלק מהמובנים מוח יוצא דופן, ובכל המובנים מוח משונה. הוא היה הניגוד המוחלט לאיש התאגיד, ואילו היה "נורמלי" יותר מבחינות כלשהן, ייתכן שלא היה משיג את פריצות הדרך שהשיג. מעמדו כזר וכמשקיף מהצד הוא שאִפשר לו לבצע את פריצות הדרך היצירתיות, אשר הופיעו לכל אורך הקריירה שלו ושינו את העולם.

לין אירווין, סופרת ואשתו של המתמטיקאי מקס ניומן, כתבה על טיורינג בסוף שנות החמישים, "אלן הכיל הרבה פחות מהמאה השמונה-עשרה והתשע-עשרה מאשר מרבית בני דורו. יש להרחיק שלוש מאות שנה אחורה (או אולי מאתיים שנה קדימה) כדי למצוא את מקומו הנכון…" בהערה-הארה זאת זיהתה אירווין את טיורינג כאדם השייך בעת ובעונה אחת לעבר ולעתיד, דהיינו כאדם שהתקשה למצוא לעצמו מקום בעידן שבו נולד. "הוא אף פעם לא נראה לבוש כהלכה," היא כותבת בהמשך,

לא בחליפת בֶּרברי הבלויה והמלוכלכת שהייתה קטנה עליו, ולא כאשר טרח ולבש חולצה לבנה חדשה או את חליפת הטוויד הכחולה והמשובחת ביותר. גלימה של אלכימאי או שריון טבעות היו הולמים אותו יותר: הראשונה הייתה מתאימה לאופיו המפוזר, והשני לראשו הכהה ורב-העוצמה, שסנטרו מוצק כחרטום ספינה ושֶאפו קצר וסולד כחוטמה של חיה סקרנית. שריון הטבעות היה הולם גם את עיניו הכחולות, שהיו בורקות ומרהיבות כזכוכית צבעונית.

האלכימאי לקח עקרונות לוגיים, חוטים ומעגלים חשמליים, ובנה מהם מכונה. האביר הגן על זכותה של המכונה להבטחת עתידה.

אילוּ רק היה יכול להציל את עצמו.

2 | התבוננות בצמיחת החינניוֹת
א.
הוא היה בן האימפריה ובן המעמד הבינוני האנגלי. אביו ג'וליוס שירת בשירות המדינה בהודו, והוא ואשתו אתל-שרה הרו את אלן בצַ'טרָאפּוּר, בקרבת מַדראס. ההורים שבו לאנגליה ובנם השני אלן נולד בה ב-23 ביוני 1912, בבית חולים פרטי בפֶּדינגטוֹן. שמו המלא היה אלן מתיסון טיורינג. לטענת אמו, "אלן התעניין בִּסְפָרוֹת - ללא הקשר מתמטי כלשהו - עוד בטרם למד לקרוא, והוא נהג להביט בעין בוחנת במספרים המתנוססים על עמודי חשמל וכדומה." הוא גם הפגין נטייה להמצאת מילים: "קווקלינג" (quockling) הייתה המילה שטבע לתיאור ההמולה שמשמיעים שחפים המתקוטטים על מזון, "גריסיקל" (greasicle) לתיאור "הבהוביו של נר ברוח פרצים," ו"סקוואדי" (squaddy) לתיאור דברים גוציים ורבועים.

אולם נראה שהוא התקשה לתפוס את העיקרון של לוח השנה, ומאוחר יותר הודה שבילדותו לא הצליח "לחזות מתי יחול [חג המולד]. לא הבנתי שהוא חל במרווחים קבועים." כאשר מלאו לו שש, החל ללמוד בבית ספר קטן בשם הייזלהרסט. עוד בטרם התחיל את לימודיו הפגין עניין ראשוני במדעים, ופעם אחת, לטענת אמו, רקח בקפידה "תערובת שהמרכיב העיקרי בה היה עלי חומעה לריפוי שריטות סרפדים, ורשם את הנוסחה שלה ברצינות רבה מתוך הכרה הולמת בחשיבותה." הוא גם גמר אומר לחבר "אנציקלופדיו" [כך במקור], ובגיל שמונה חיבר חיבור שאמו מכנה "המאמר המדעי הקצר ביותר שתועד אי-פעם," "על אודות מיקרוסקופ", מאמר שהתמצה בשורה יחידה "קודם קול צריך לבדוק שהאור מַטאים."

גברת טיורינג ממשיכה ומדווחת, בצניעות רבה למדי, כי היא עצמה לימדה אותו חילוק ארוך, והיא מציינת כי "בילדותו תמיד ניסה לברר את עקרונות היסוד וליישם אותם. לאחר שלמד בבית הספר כיצד מחשבים שורש ריבועי של מספר נתון, הסיק בכוחות עצמו כיצד מוצאים את השורש השלישי." באביב 1923 היא ציירה את אלן הצעיר עומד במגרש הוקי, אוחז בידו מקל ורוכן להביט בפרחים - בכיתוב נאמר, "הוקי, או התבוננות בצמיחת החינניוֹת" - ואילו שיר סיום הסמסטר בהייזלהרסט מכיל צמד שורות מחורזות המצביעות על כישרונותיו לא פחות מאשר על גישתו למשחקי ספורט:

מגרשי הכדורגל על טיורינג חביבים
בזכות בעיות גיאומטריות שמְזַמנים הקווים

ב-1922 קיבל טיורינג במתנה ספר ששמו פלאי הטבע שכל ילד צריך להכיר, מאת אדווין טֶני בְּרוּסטֶר. כדי להסביר ביולוגיה, אבולוציה וטבע, השתמש ברוסטר במטפורות של מכונות (בניגוד גמור לכותרת ספרו). הרעיון שאפשר לתאר את הגוף בכלל ואת המוח בפרט כמכונה נחרת בזיכרונו של טיורינג והשפיע על מסלול עבודתו בעתיד. ייתכן שספרו של ברוסטר גם הצית את סלידתו מפני אי-דיוקים, שבאה לידי ביטוי במכתב שכתב לאחיו ג'ון, ובו התלונן כי המורה למתמטיקה בהייזלהרסט יצר "רושם שגוי לחלוטין לגבי המשמעות של x." כפי שמסבירה אמו, התעקשותו של המורה לקבע את x "כדבר מוגדר ומוחשי מדי לתודעת הלוגיקן המְניצה של אלן," הטרידה את בנה בין השאר מפני שחשש שההסבר יטעה את שאר בני כיתתו.

כאשר סיים את לימודיו בהייזלהרסט נשלח טיורינג לשֶׁרבּוֹרן, אחד מבתי הספר הפרטיים המקוריים, שתואר בספר The Loom Of Youth שפרסם אלק ווֹ בשנת 1917. שרבורן, בדומה למרבית בתי הספר הפרטיים, שאף להיות מה שא"מ פורסטר כינה "עולם בזעיר אנפין", וחתר להנחיל לתלמידיו את הערכים הפוליטיים והחברתיים של בריטניה מקימת האימפריה, ולשכפל את מרבית ערכי הצביעוּת, הדעוֹת הקדומות והמוסר הכפול. התנסויות מיניות, כמו גם קשרי אהבים בין בנים בוגרים לצעירים, היו חלק בולט בהווי של בתי הספר הפרטיים, אף שהמנהלים נהגו לגנות את ההתנהגויות האלה בטענה שהן בלתי מוסריות. ואכן, בית הספר הפרטי וינצֶ'סטר סילק בשנת 1908 את צ"ק סקוט-מונקריף, העתיד להיות המתרגם האנגלי הראשון של בעקבות הזמן האבוד מאת פרוסט, משום שפרסם בעיתון הספרותי של בית הספר סיפור שעסק במפורש בתככים רומנטיים ומיניים בין תלמידים זכרים, כמו גם בתגובתו החריפה של המנהל לחשיפת התככים.

סמסטר לימודיו הראשון של טיורינג בשרבורן החל בדיוק עם פרוץ השביתה הכללית של 1926; הוא שהה בצרפת בקיץ, וכשחזר לאנגליה הרכבות היו מושבתות, והוא נאלץ לנסוע באופניים מרחק של מאה קילומטרים כמעט, מסאותהאמפטון לשרבורן, אך הוא נענה לאתגר בשמחה ובלי דאגה רבה. מר או'האנלון, המחנך שלו בתקופת לימודיו בשרבורן, מספר כי טיורינג הצטיין תחילה במתמטיקה, אך בסמסטר הקיץ של 1927 "כבר הידרדרו הישגיו. [שכן] הוא מקדיש זמן כה רב לעיונים במתמטיקה מתקדמת, עד שהוא מזניח את לימודי היסוד." בפנאי שעמד לרשותו בחר טיורינג לפתור בכוחות עצמו את טור גרגורי עבור tan-1x, מכיוון שלא היה מודע לכך שגרגורי עצמו עשה זאת מאתיים שנה קודם לכן. על-פי זיכרונה של גברת טיורינג, התגלית "הסבה לאלן עצמו סיפוק רב... הוא שאל את קולונל רנדולף, המורה למתמטיקה, אם הסדרה נכונה, והמורה סבר בתחילה כי אלן העתיק אותה מספר שמצא בספרייה." מאוחר יותר אמר הקולונל לאמו של אלן כי אף-על-פי שהפתרון היה מקורי מאוד, המחנך של טיורינג "התלונן [על כך] שהעבודה הוגשה בצורה כה לקויה, עד כי שקל לתת לו ציון נכשל."

מר נואל סמית, מנהל בית ספר שרבורן, נהג לקרוא לטיורינג "האלכימאי", בין השאר בגלל התעודה שקיבל בסוף סמסטר הסתיו 1927, שבה כתב או'האנלון, "אין ספק כי הוא מרגיז ביותר; והוא ודאי כבר יודע כי לא אתפלא אם אתפוס אותו מרתיח איזשהו נזיד מכשפות, שאלוהים יודע מה מרכיביו, בעזרת שני נרות מרצדים המונחים על אדן החלון החשוף." גברת טיורינג סבורה כי "אלן הצטער רק על כך שלא הזדמן למר או'האנלון לראות בשיאם את הצבעים הנאים שנוצרו כאשר הצית את האדים שהפיצה שעוות הנרות בחום העז." אילו הייתה הרוח מכבה את הנרות, התוצאה - על-פי מילון המונחים הפרטי של טיורינג - הייתה "גריסיקל". כמובן שאיש לא חזה את הזיקה מבשרת הרעות שבין המונח "נזיד מכשפות" לבין חייו של טיורינג ומותו גם יחד.

כבר בשרבורן התחיל טיורינג להפגין את נטיית הפְּשָּט העיקשת שלו, אותה נטייה העתידה לסבך אותו בצרות רבות כל-כך ובה בעת להוביל אותו לכמה מתגליותיו האינטלקטואליות המפתיעות ביותר. לדוגמה, כששאלו אותו בבחינה, "מהו המקום הגיאומטרי של זה וזה?" (לקצרנות אחראית אמו), הוא השיב "המקום הגיאומטרי הוא כך וכך," במקום לספק את ההוכחה המצופה. כאשר שאלה אותו גברת טיורינג מדוע לא טרח לכתוב את ההוכחה, הוא השיב כי נשאל אך ורק "מהו המקום הגיאומטרי?" וכי על השאלה הזאת השיב. הוא פשוט עשה מה שאמרו לו. חייו היו רצופים אירועים שכאלה. במהלך מלחמת העולם השנייה, התגייס טיורינג לפלוגות הרגלים של "המשמר האזרחי", כדי שיוכל ללמוד לירות. בטופס שנדרש למלא הופיעה השאלה, "האם אתה מבין שבעצם התגייסותך למשמר האזרחי, אתה מכפיף את עצמך לדיני הצבא?" הוא השיב בשלילה משום שלא העלה בדעתו שתצמח לו טובה כלשהי אם יענה בחיוב.

הוא עבר את ההכשרה, ולדברי ידידו פיטר הילטון הפך לצלף מצטיין, אך כאשר התקרבה המלחמה אל קִצה, איבד עניין בשירות הצבאי והפסיק להגיע למסדרים; הממונים עליו זימנו אותו, כדי שיסביר את היעדרויותיו. הקצין שראיין אותו הזכיר לו מן הסתם שכל חייל חייב להתייצב למסדרים, אך טיורינג השיב לו, "אבל אני אינני חייל." ואכן, הוא לא היה חייל. משום שהשיב תשובה שלילית על השאלה המופיעה בטופס, לא היה כפוף בעצם לדיני הצבא, ולפיכך לא היה מחויב להתייצב למסדרים. אנדרו הודג'ס מציין כי "אותה תחבולת ראי, שעיקרה הבנת הוראות על-פי הפשט," הובילה למהומה דומה כאשר התברר כי תעודת הזהות של טיורינג איננה חתומה; הוא טען "כי נאמר [לו] לא לכתוב עליה דבר."

מובן שמנקודת ההשקפה אשר מכתיבה הלוגיקה המתמטית, בכל אחד מן המקרים הללו נהג טיורינג בדיוק על-פי ההוראות. לוגיקה מתמטית נבדלת מהשיח האנושי הרגיל בכך שטענותיה מתכוונות לְמה שהן אומרות ואומרות מה שהן מתכוונות, ומשום כך אין הרבה סיכוי שמשפט כגון "אל תטרח לאסוף אותי, אני פשוט אלך הביתה בשלג עם הרגל החולה שלי" יופיע בספר לימוד ללוגיקה. מר ספוק ממסע בין כוכבים נודע לשמצה בשל חוסר הרגישות שלו למשמעויות לוואי, לכֶּפֶל משמעות ולתוקפנות-פסיבית, וטיורינג, שהיה בו נופך לא מבוטל ממר ספוק, הסתבך לא פעם בצרות בגלל חוסר יכולתו "לקרוא בין השורות".

ובכל זאת, הוא הסתדר בשרבורן לא רע. הוא היה ספורטאי סביר, ואף שפעם אחת נאלץ להתמודד עם מורה שצעק, "החדר הזה מצחין ממתמטיקה! לכו להביא תרסיס חיטוי!" מוריו וחבריו התלמידים העריכו בדרך כלל את כישרונותיו ועודדו אותו לפתח אותם (אם כי המורים נהגו להתלונן בקביעות כי חיבוריו בלתי מסודרים). הוא אפילו רכש לעצמו כמה חברים, ובכללם ויקטור בוטל, אשר אביו, אלפרד בוטל, המציא בשנת 1901 המצאה ששמה "נורת סרט מחזירורית חשמלית".

בשנת 1927 שקד בוטל על המצאה חדשה, "מערכת תאורה בקרן-K", שנועדה לספק תאורה אחידה לתמונות או לכרזות. הוא ביקש מטיורינג לסייע לו למצוא נוסחה לקביעת הקימור המיטבי של הזכוכית; ולא זו בלבד שהנער הגה את הנוסחה מיד, הוא גם ציין כי עובי הזכוכית ישפיע על מידת ההארה - עובדה שאיש מלבדו לא הבחין בה לפניו. בוטל אסיר התודה יישם את השינויים הנדרשים, ומערכת התאורה נכנסה לייצור בתוך זמן קצר.

לאחר כמה שנים, בזמן לימודיו בקיימברידג', רמז טיורינג לידידו פְרד קְלייטוֹן, כי "אפשר לסמוך על בתי ספר פרטיים שיספקו התנסויות מיניות." עד עצם היום הזה לא הוברר כמה התנסויות מיניות חווה טיורינג בשרבורן, על אף אזכור מעורפל בספר זיכרונותיה של גברת טיורינג, על-פיו היה לטיורינג "יומן אישי ונעול," ושילד אחר, "מתוך יצר קונדסי או מניע אחר כלשהו," גנב את היומן ופתח אותו בכוח. הפושע הפלוני "הסב נזקים כבדים ליומן, שוודאי הכיל מחקר מתמטי. מעשה זדוני זה גזל מאיתנו רשומות יקרות ערך, שהיו עשויות להעיד על התפתחותו המוקדמת." גברת טיורינג מסכמת ונזכרת שאובדנו של היומן "הסעיר את אלן קשות," אך איננה מנסה לנחש מהו אותו "מניע אחר" שאולי פעל את פעולתו.

ידידו הקרוב ביותר של טיורינג בשרבורן היה כריסטופר מוֹרקוֹם, שגם הוא היה מחונן להדהים בתחומי המדעים. הם נפגשו בשנת 1928, ומערכת היחסים ביניהם פרחה על-פי קווי המתאר הקלאסיים של "ידידות רומנטית" בת המאה התשע-עשרה, והתאפיינה בהתפרצויות רגש נסערות - טיורינג כתב כי הוא "מעריץ את הקרקע ש[מורקום] דורך עליה" - אך מקומה של המתמטיקה לא נגרע ממנה; כלומר שכאשר שני הנערים בילו זה בחברת זה, שיחתם עסקה כפי הנראה בתורת היחסות ובערכו של ?, שטיורינג חישב ברגעי הפנאי שלו עד המקום השלושים ושישה אחרי הנקודה, ולאו דווקא בשירה. אף-על-פי שנושאי השיחה היו יבשושיים לכאורה, המו השיחות מרוב עוצמה פואטית, לפחות מנקודת מבטו של טיורינג. למרבה האירוניה, כמה עשורים לפני כן המליץ רופא אמריקני על לימודי מתמטיקה כמרפא להומוסקסואליות.

ככל הידוע, כריסטופר מורקום לא היה הומוסקסואל. הוא זכה להתקבל לטריניטי קולג' בקיימברידג', מקום שהיה משׂאת נפשו של טיורינג. אילו מערכת היחסים שהחלה בשרבורן הייתה נמשכת גם בקיימברידג', ייתכן כי הייתה נקטעת כפי שנקטעו רבים מקשרי הידידות האחרים של טיורינג, שבאו אל קִצם כאשר ידידיו דחו את חיזוריו הגופניים בעדינות אך בתקיפות. אך בשנת 1930, עוד בטרם זכה להתחיל את לימודיו בטריניטי קולג', מת כריסטופר מורקום משחפת.

מותו הִכה את טיורינג מכה קשה. "אני מרגיש שעוד אפגוש את מורקום היכן שהוא, וכי תהיה שם עבודה ששנינו נעשה ביחד," הוא כתב לאמו, "כפי שהייתה לנו עבודה לעשות כאן... מעולם לא עלה בדעתי להתיידד עם אנשים אחרים מלבד מורקום, לעומתו כל האנשים האחרים נראו רגילים כל-כך." גברת טיורינג עצמה אמרה יותר מכפי שהתכוונה כאשר כתבה לאמו של מורקום, אשר העניקה לאלן כמה מחפציו של כריסטופר, כי בנה "נוצֵר בעדינות של אישה את העפרונות ואת מפת הכוכבים היפהפייה ומזכרות אחרות שהענקת לו."

אין פלא כי מותו של האהוב האידיאלי קיבע בתודעתו של טיורינג אידיאל של אהבה רומנטית לפני שהאידיאל הספיק להתקלקל או להבשיל למערכת יחסים בוגרת. גיבור ספרו של א"מ פורסטר מוריס (1914), ששמו כשם הספר, רוחש אהבה לקְלַייב דורהאם, ואהבה זאת מתפתחת בתחילה למערכת יחסים מתמשכת ובת קיימא לכאורה (אך נטולת סקס, כפי שמתעקש קלייב), ואחר כך מידרדרת לכדי טינה כאשר קלייב מחליט להינשא. לטיורינג, לעומת זאת, לא ניתנה ההזדמנות לממש את משיכתו אל כריס מורקום ולהובילה אל תוצאתה הבלתי נמנעת, תהא אשר תהא. ייתכן כי זה הדבר אשר דחף אותו להקדיש חלק משמעותי מחייו הקצרים לַניסיון למצוא תחליף שיהיה שקול לאותה אהבה אדירה ובלתי ממומשת.

בסתיו 1931 נרשם טיורינג לקינגס קולג' בקיימברידג', וקיבל חדר בבּוֹדליס קורט. במבט ראשון נראה הקולג' כמקום המושלם למתמטיקאי הומוסקסואל צעיר. הקולג' היה יפה להפליא, עשיר (בין השאר בזכות הניהול של הכלכלן ג'ון מיינארד קיינס) ונודע בסובלנות הליברלית שלו. היה לו מוניטין "עליז" מאוד. פורסטר, שנודע לשמצה בגין ההומוסקסואליות שלו לא פחות מכפי שנודע לתהילה בגין ספריו, התגורר במרחק יריקה מחדרו של טיורינג. אילו היה טיורינג ביישן פחות, ייתכן כי היה מתיידד עם פורסטר ומוזמן להשתתף באחד מערבי החברה שבהם נהג פורסטר, שאז כבר היה בא בימים, להקריא בקול מכתב היד של מוריס, שאותו החליט להוציא לאור רק אחרי מותו. אולם מוריס מרגיש שמונעים ממנו להצטרף לחוגים האסתטיים והפילוסופיים של קיימברידג', ובמובנים רבים דמה טיורינג למוריס יותר מאשר ליוצרו.

אמנם הוא לא היה גברבר כמוריס, קל וחומר שלא ניחן באינסטינקט המעשי שלו, אך בדומה למוריס היה בורגני ובלתי מהוקצע. טיורינג, כמו מוריס, גם לא חש בושה או ספק כלשהו בנוגע להומוסקסואליות שלו, ורמיזות שהופיעו בתשבץ אשר פורסם במגזין של הקולג' אפילו רמזו על "כמיהתו" לסטודנט אחר. ברומן, האיש אשר נסוג מן ההומוסקסואליות שלו ומחליט להתחתן הוא קלייב, אהובו הראשון של מוריס ואסתטיקן לטענתו-שלו. מבין שני האהובים דווקא מוריס, אשר מצטייר למראית עין כאיש הנשמע יותר למוסכמות, הוא שנשאר איתן בזהותו כפי שעשה טיורינג. ההווי האנגלי בשנות השלושים של המאה העשרים לא היה סובלני כלפי גברים ונשים הומוסקסואליים. "אנגליה נטתה מתמיד שלא לקבל את טבע האדם," אומר למוריס מר לאסקֶר-ג'ונס, המהפנט שמוריס פונה אליו כדי "לחזור לדרך הישר".

עדות לדבריו היא תיקון לַבּוּשֵר משנת 1885, אשר נשאר בתוקף עד שנת 1967 וקבע כי מעשים מסוימים בין גברים מבוגרים בפומבי או בפרטיות הם בבחינת "התנהגות מגונה ביותר". על-פי התיקון, נאסר אוסקר ויילד, נשפט ונשלח לכלא רדינג. קרוב יותר למועד סיפורנו, שימש אותו חוק כדי להפסיק את הפצת תהום הבדידות, הרומן הלסבי מאת רדקליף הול (1928); צעד זה דרבן את פורסטר לאסוף חתימות על עצומת תמיכה בספר, אף שבאופן אישי תיעב אותו. (ג'יימס דאגלס מהעיתון Sunday Express כתב על תהום הבדידות, "הייתי מבכר לתת לנער בריא או לנערה בריאה בקבוקון של חומצה פרוסית מאשר לתת לו את הספר הזה.

רעל הורג את הגוף, אולם רעל מוסרי הורג את הנפש.") אפילו בין חומותיו המגוננות של קינגס קולג', פתיחות כה רבה כפתיחותו של טיורינג כלפי הומוסקסואליות הייתה מטורפת או מהפכנית. או אולי הייתה פשוט לוגית - הוכחה נוספת לכך שטיורינג חשב חשיבת פְּשָׁט ושלא היה מודע לגחמותיו של "העולם". טיורינג לא ראה בהומוסקסואליות שלו דבר נשגב או חולני. הוא פשוט השלים איתה והניח (בטעות) כי אחרים ינהגו כמותו.

למרות פתיחותו, ואולי בגללה, חוויותיו בקולג' היו שונות מאוד מן החוויות שתיארו הבוגרים המזהירים יותר באוטוביוגרפיות וברומנים הרבים שהם עתידים לכתוב. הקולג' נודע בקשריו לבְּלוּמסבֶּרי, עולם האמנויות והתיאטרון. טיורינג הלך אמנם להצגה Back to Methuselah על-פי מחזהו של ג'ורג' בֶּרנרד שוֹ, אולם סטודנטים שכמותו לא הוזמנו למסיבות תה ששוֹ הוזמן אליהן. טיורינג היה ביישן מכדי להקנות לְאירועים אצטלה אינטלקטואלית, מגושם ומרושל בלבושו מכדי להיחשב יפה תואר. הביישנות היא כפי הנראה הגורם שמנע ממנו ליזום שיחה עם כל בעלי התחכום המסנוור שבחברתם סעד ושחלקם היו חברים במועדון הדיונים המפורסם של האוניברסיטה, מועדון השליחים (The Apostles). (עם חבריו נמנו בין השאר פורסטר, ברטראנד ראסל, ג'ון מיינארד קיינס, לייטון סטראצ'י, לודוויג ויטגנשטיין ולאונרד וולף.)

טיורינג לא הוזמן להצטרף אליהם. כמו כן לא הוזמן להצטרף למועדון העֲשָׂרָה, שקראו בו מחזות, או לאגודת מאסינגֶר, שחבריה שוחחו על פילוסופיה עד אישון לילה. רומן קיימברידג' של פורסטר, המסע הארוך ביותר (1907), נפתח בהתכנסות דומה: אנסל, ריקי וידידיהם יושבים מול האח ומתווכחים אם פרה היפותטית כלשהי נשארת באחו אחרי שהאיש הצופה בה הולך לדרכו (ואריאציה על המשחק הוותיק "אם עץ נופל ביער"). השיחה ביניהם פלרטטנית, אידיאליסטית ורועשת כדבעי בעת ובעונה אחת, כיאה לנערים. אז אומר ריקי, "אני חושב שאני רוצה לדבר," ומספר את סיפור ילדותו. גם לוּ הוזמן טיורינג לאחת מאותן פגישות, ביישנותו ודאי הייתה מונעת ממנו לצפות מהנוכחים שיקדישו לו מזמנם.

ההצטרפות לחוגים שכאלה דווקא לא הייתה מעצם הגדרתה סגורה בפני מתמטיקאים: תיאורטיקן המִספרים ג"ה הארדי (גם הוא הומוסקסואל) ו"ברטי" ראסל הסתובבו באותם חוגים חברתיים שבהם הסתובבו פורסטר וקיינס. אולם שניהם ניחנו בניסיון מעשי וב- savoir faire - מיומנויות חברתיות שהיו למעלה מיכולתו של טיורינג. במקום זאת, ניצב טיורינג בשוליים, צפה וקרא. הוא קרא בין השאר את Erewhon מאת סמואל באטלר (1871), ואת האזהרה הגלומה בו מפני מכונות שיגזלו את העולם מן הגזע האנושי. משום שהיה נונקונפורמיסט מטבעו, סירב לקבל את החלוקה המסורתית שרווחה בקיימברידג' בין אסתטיקנים לבין אתלטים, והתחיל ללמוד חתירה. (הוא היה חבר בנבחרת הקולג' ב-1931, 1933 ו-1934.) הוא גם התחיל ללמוד נגינה בכינור (כלאחר יד).

הוא קרא את העיתון The New Statesman והושפע מארתור פיגו, הכלכלן של המלך, אשר תמך בחלוקה שוויונית יותר של העושר, בדומה לקיינס. הוא הצטרף למועצה האנטי מלחמתית, שמטרתה הייתה לארגן שביתה בקרב עובדי המפעלים לייצור כימיקלים ותחמושת אם וכאשר תוכרז מלחמה, ונשא הרצאה על "מתמטיקה והיגיון" בפני מועדון המדע המוסרי. הוא לא התרועע עם תואמי לייטון סטראצ'י של תקופתו, ובחר במקום זאת לחשל קשרי חברות (שאחד מהם היה מיני) עם בחורים שהתעניינו, כמוהו, במדעים, גם אם הם, שלא כמוהו, דווקא כן ידעו כיצד לקשור את עניבותיהם כהלכה. ובכל זאת היה טיורינג אזרח הקולג' לא פחות מריזלי, המלומד דמוי-ויילד (המבוסס על דמותו של סטראצ'י) שמהמם ומפחיד כל-כך את מוריס.

"אילו למד טיורינג בטריניטי קולג', הוא היה דמות בודדה הרבה יותר," כותב הודג'ס. טריניטי קולג' גם לא קיבל את הספקנות בזרועות פתוחות כפי שעשה קינגס קולג'. הישגיו המתמטיים מרחיקי הלכת של טיורינג נבעו מנכונותו "להטיל ספק באקסיומות," כדברי הודג'ס, ואותה נכונות הייתה חלק מהותי מהמורשת של קינגס קולג'.

אם קינגס קולג' הטיף בכלל לפילוסופיה כלשהי, הרי שהיה זה צו האוטונומיה המוסרית ששורשיו נעוצים בכתביו הפילוסופיים של ג"א מוּר (Moore, 1958-1873), ובמיוחד ב-Principia Ethica (עקרונות המוסר) שיצא לאור בשנת 1903. מוּר הפריך את האידיאליזם האבסולוטי וצידד בַּ"טוּב" כסגולה פשוטה אשר מגדירה את עצמה ואשר צריכה לשמש כבסיס להתנהגות יומיומית; תורתו סיפקה בסיס אֶתי לפילוסופיה של תנועת בְּלוּמסבֶּרי המתפתחת, ופערה פער משמעותי בין אנשי קינגס קולג' לבין הזרם המרכזי באינטלקטואליות הבריטית. שנים אחרי כן ייזכר ג'ון מיינארד קיינס כי הוא ורעיו אמנם קיבלו את "הדת של מור, כביכול," אך פנו עורף ל"מוסר" שלו.

לפיכך היו מסוגלים להפוך את האוטופיוּת המשונה-מעט של מור לכדי "אני מאמין" בדבר שחרור מיני ואסתטי, שעל-פיו "דבר לא היה חשוב מלבד הלכי רוח, הלכי הרוח שלנו ושל אנשים אחרים, כמובן, אך בעיקר שלנו. הלכי הרוח האלה לא היו קשורים לפעולות או להישגים או להשלכות. הם התקיימו כמצבי הגות ושיתוף שוקקים ואל-זמניים, חסרי זיקה כמעט ל'קודם לכן' ול'אחר כך'." קיינס מקפיד להתחמק מציוני מִגדר כאשר הוא מוסיף, "המושאים המתאימים להגות ושיתוף שוקקים היו אנשים אהובים, יופי ואמת, והנושאים העיקריים בחיים היו אהבה, היצירה וההנאה מן החוויה האסתטית והמרדף אחר הידע. מבין כולם, האהבה כבשה את המקום הראשון בניצחון גורף."

הפילוסופיה הזאת לא הדירה מתוכה את המתמטיקה. השפעתו של ראסל ניכרת בהצהרתו של קיינס,

כיניתי את האמונה הזאת דת, וברור שהיא שארת-בשר כלשהי של נאו-אפלטוניוּת. אך בזמנו, הערה כזאת הייתה מרגיזה אותנו מאוד. כולנו ראינו בה אמונה רציונלית לחלוטין ומדעית באופייה. ככל ענף אחר של מדעים, היא לא הייתה אלא יישום לוגי וניתוח רציונלי של החומר המוצג כנתונים חושיים. תפיסתנו את ה"טוב" הייתה שקולה בדיוק לתפיסתנו את הצבע הירוק, והתיימרנו לטפל בו [ב"טוב"] באותה טכניקה לוגית ואנליטית שהלמה את ניתוחו של האחרון... Principia Mathematica (עקרונות המתמטיקה) מאת ראסל ו-Principia Ethica ראו אור באותה שנה; והראשון סיפק בצביונו שיטה לטיפול בחומר שסיפק האחרון.

בהמשך מביא קיינס דוגמה, שהיא המחשה מופלאה לניכוס שפת הלוגיקה המתמטית כאמצעי להתחמקות (נוספת) מעיסוק במגדר:

א' מאוהב ב-ב' ומאמין כי ב' משיב לו אהבה, אף ש-ב' בעצם איננו משיב לו אהבה אלא מאוהב ב-ג', ברור אפוא שמצב העניינים טוב פחות מכפי שיכול היה להיות אילו צדק א', אך האם הוא טוב פחות או יותר מכפי שיכול היה להיות אילו עמד א' על טעותו? אם א' מאוהב ב-ב' וטועה בהבנת תכונותיו של ב', האם זה טוב יותר או פחות מאשר אם א' לא היה מאוהב כלל? אם א' מאוהב ב-ב' משום שמשקפיו של א' אינם חזקים דיים כדי להבין את מצבו של ב' לאשורו, האם הטעות מקלקלת באופן מוחלט או חלקי את ערך הלך הרוח של א'?

מתמטיקאי הומוסקסואל היה פורח מן הסתם בעולם שכזה, המכיל אָלֶפים ממושקפים ובֵּיתִים שנראים טוב (או רע). קיימברידג' בכלל (וקינגס קולג' בפרט) היו סביבה אידיאלית להתנסויות אינטלקטואליות וארוטיות, עודדו כפירה במוסכמוֹת ובה בעת גוננו על הכופר המנץ מפני תגובת הנגד החריפה שהייתה עלולה להתעורר אילו הוצגו רעיונותיו והתנהגותו בפורום פומבי יותר. במילים אחרות, שום דבר מכל זה לא היה אמיתי - ומשום שהקולג' היה מעין מעבדה, יכלו הגברים הצעירים לחזק את השרירים שבעזרתם הם עתידים לבסוף לקרוא תיגר על זחיחות הדעת הבריטית. "כפרנו כליל בהנחה לפיה מוטלת עלינו מחויבות אישית לציית לחוקים כלליים," כותב קיינס. "...זה היה מרכיב חשוב מאוד באמונתנו; דבקנו במרכיב הזה בכוח ובתוקפנות והוא היה המאפיין הבולט והמסוכן ביותר שלנו בעיני העולם החיצון."

פילוסופיה כזאת עלתה בקנה אחד עם אתיקת היחסים האישיים המפורסמת של פורסטר, אשר באה לידי ביטוי בהצהרתו השנויה במחלוקת, כי אם ייאלץ להחליט אם לבגוד בידידו או לבגוד במולדתו, הוא מקווה שיצליח לאזור אומץ לבגוד במולדתו. קיימברידג' שלו הייתה "קיימברידג' הנועזת וחסרת ההשפעה אשר תרה אחר המציאות וקידשה את האמת," כתב בהקדמה לספרו המסע הארוך ביותר, אך הייתה זאת גם אותה קיימברידג' אשר סברה שניתוקה האליטיסטי מן העולם הרגיל הוא מובן מאליו; ואם מצליח הודג'ס להמחיש כי טיורינג לא היה אזרח אידיאלי בקיימברידג' הזאת, הרי שהדבר נבע, לפחות חלקית, מ"החובבנוּת הספרטנית והמרושלת" של שרבורן כמו גם מ"האנטי-אינטלקטואליות" של טיורינג, אשר היו בין הגורמים שהפכו את טיורינג לאדם "אשר לא החשיב את עצמו כמשתייך לקבוצה נעלה בזכות שִׂכלו." מתעורר החשד כי טיורינג היה מזדהה יותר עם דיוקן האוניברסיטה המאוזן יותר, שהתווה הסופר פורט רייד בספר זיכרונותיו Private Road; הוא כתב בפשטות, "קיימברידג' אכזבה אותי, אני חייב להודות."

ואמנם, פירות לימודיו של טיורינג בקינגס קולג' ניכרים במחקר המתמטי שלו יותר מאשר בתולדות חייו. את עבודותיו הראשוניות עשה בתחום המתמטיקה העיונית, במיוחד בתורת החבורות. (מאמר שפרסם בשנת 1935 התהדר בכותרת המרתיעה "Equivalence of Left and Right Almost Periodicity"; "השקילות של כמעט מחזוריות ימנית ושמאלית") בקיימברידג', כבשרבורן, הוכיח טיורינג את מה שכבר הוכח: "לפני כמה ימים שימחתי את אחד המרצים בכך שהבאתי משפט מתמטי," הוא כתב לאמו בינואר 1932. "המרצה בדק ומצא שהאדם היחיד שהוכיח את המשפט בעבר היה איש בשם סירפינסקי, שהשתמש בשיטה סבוכה. ההוכחה שלי פשוטה למדי ולכן סירפינסקי יצא מופסד." (המשפט המדובר היה כפי הנראה המשפט מ-1904, בדבר נקודות-סריג.)

בשנת 1933 השתתף טיורינג בקורס על המתודולוגיה של המדע שלימד האסטרופיזיקאי ארתור אדינגטון (1944-1882); הקורס הוביל אותו לכיוונים דומים וגרם לו לקחת על עצמו אתגר - מציאת פתרון והוכחה לשאלה מדוע מדידות המוּתווּת על גרף נוטות להסתדר בצורת "עקומת הפעמון" הסטטיסטית המפורסמת. לדאבונו גילה טיורינג כי כבר הוכיחו זאת לפניו - "משפט הגבול המרכזי" הוכח בשנת 1922. העובדה שלא בדק זאת בטרם החל לשקוד על הבעיה היא הוכחה נוספת הן להתבודדותו והן לנטייתו לפזיזות. אף-על-פי-כן, עודדו אותו מוריו לכלול את התוצאה בעבודת התזה שלו, "On the Gaussian Error Function" ("על פונקציית השגיאה הגאוסית"), שאת רוּבּה סיים לחבר עד סוף 1934; על סמך עבודת התזה שהגיש קיבל טיורינג, ב-16 במרס 1935, מעמד של עמית מחקר בקינגס קולג', ומפני שמלאו לו עשרים ושתיים בלבד כשקיבל את המינוי, חיברו אודותיו שיר לעג מחורז שסבב בחוגים של בוגרי שרבורן:

Turing
Must have been alluring
To get made a don
So early on.

ובתרגום חופשי: "טיורינג הוא ודאי המפתה שבאדם, אם קיבל משרה אקדמית כה מוקדם."

אל מעמד העמית התלוותה הכנסה של שלוש מאות לירות סטרלינג בשנה - סכום צנוע, שאִפשר לו בכל זאת להתקיים ולהמשיך במחקריו. בשלב זה בחייו חשב טיורינג לראשונה על אחת מהבעיות העומדות בלב המתמטיקה: Entscheidungsproblem או בעברית, בעיית ההכרעה.

ב.

טיורינג מאמין שמכונות יכולות לחשוב
טיורינג שוכב את גברים
לפיכך מכונות אינן יכולות לחשוב

אלן טיורינג כלל את ההיקש העוקצני הזה במכתב שכתב לחברו נורמן רוּטלדג' בשנת 1952, ובאמצעותו רמז לא רק על האפשרות המפחידה כי התנהגותו תגרור התעלמות מכל רעיונותיו, אלא גם על "פרדוקס השקרן" המפורסם, בעיקר באמצעות השימוש בביטוי התנ"כי "לשכב את" (באנגלית: lie זה גם "לשכב" וגם "לשקר"). שורשי הפרדוקס נעוצים במאה הרביעית לפני הספירה, בהכרזתו של הפילוסוף אֶפּימֶנידֶס, בן כרתים, כי "כל בני כרתים שקרנים, כפי שאמר לי משורר בן כרתים." אֶאוּבּוּלידס תמצת את הפרדוקס (או כפי שאומרים במתמטיקה - הִכליל) לכדי ההצהרה "אני משקר"; במאה הארבע-עשרה, המחיש הפילוסוף הצרפתי ז'אן בורידן את הרעיון כשכתב על דף ריק את ההצהרה "כל ההצהרות הכתובות על הדף הזה הן כוזבות.".

כך פועל עקרונית פרדוקס השקרן. קחו את ההצהרה, "כל ההצהרות הכתובות על הדף הזה הן כוזבות". אם ההצהרה הזאת נכונה, אזי ההצהרה היחידה הכתובה על הדף - "כל ההצהרות הכתובות על הדף הזה הן כוזבות" - היא הצהרה כוזבת. אך אם זוהי הצהרה כוזבת, אזי ההצהרה הכתובה על הדף נכונה - והיא נמצאת על דף שכל ההצהרות הכתובות עליו כוזבות... וכן הלאה וכן הלאה. סטודנטים מסוממים בוהים בתקרה כבר שנים רבות ותוהים על השלכות הפרדוקס, שאליו התוודעתי לראשונה בשלהי שנות השישים, בעזרת הפרק "אני, מָאד" בסדרה מסע בין כוכבים.

הארי מאד, הנָבָל שהפרק קרוי על שמו, מקלקל בסוף הפרק סוּפר-אנדרואיד בשם נורמן על-ידי כך שהוא מכריח אותו לבצע סדרת הוראות השקולה לפרדוקס השקרן. נורמן פולט לולאת סתירות רצופה ("כל דברַי הם שקר, לפיכך אני משקר, לפיכך כל דברַי הם אמת"), דיבורו נעשה מהיר יותר ויותר וקולו נעשה גבוה יותר ויותר, כמו קלטת רשמקול שמריצים אותה במהירות גבוהה. בסופו של דבר הוא מתפוצץ, פחות או יותר, ואז כבֵה - וזה בדיוק העניין. הצהרות סותרות ואבסורדיות משתקות. אם תחשבו על פרדוקס השקרן זמן רב מדי, כפי שעשה נורמן, גם לכם יישרף המוח.

מובן שקורא חריף, מסוג הקוראים המאמינים ב"עולם האמיתי" (למעשה, אדם הדומה לוויטגנשטיין) עלול להעלות התנגדות או שתיים, ולומר: "כאשר אני מיישם את פרדוקס השקרן בתבניתו הקיצונית ביותר - באומרי 'אני משקר' - אינני דובר אמת כפי שאני דובר אמת באומרי 'אני כותב ספר על אלן טיורינג', וגם אינני משקר כפי שאני משקר באומרי לעורך שלי שסיימתי לכתוב יותר פרקים מכפי שכתבתי באמת. במקום זאת, אני מבצע הדיפה אינטלקטואלית בזירה שבה ההצהרות הן סמלים, ושבה משמעות הסמלים חשובה פחות מן היחסים ביניהם." הקרב לביסוס יסודות מוצקים יותר להגוּת המתמטית ניטש בדרך כלל בזירה הזאת, וזהו קרב שרבים וטובים נפלו בו. ואכן, מתמטיקאים אחרים מסרבים בכלל להתקרב אל המקום הזה. כאשר שאלתי מתמטיקאי פורטוגלי מבין מַכָּרַי אם יש לו הארה כלשהי לנדב לי על הנושא, הוא השיב, "יסודות המתמטיקה מלאים חורים ומעולם לא הרגשתי בנוח לעסוק בדברים כאלה."

מלאים חורים. מתמטיקאים בני דורות קודמים הניחו כי הנוף שבו הוקמו המבנים המתמטיים יציב, וכי יציבותו מובטחת על-ידי אלוהים או על-ידי הטבע. הם פסעו כמו חלוצים או סוקרים, ומיפו בשקדנות את העקרונות הבסיסיים כדי לבעֵר מן השטח את הסכנות, והבטיחו בכך שהדורות הבאים יוכלו ליישב אותו. אך פתאום התחילו לצוץ החורים - פרדוקס השקרן הוא רק אחד מהם - והמתמטיקאים התחילו ליפול לתוכם. לא נורא! כל חור אפשר לסתום. אבל במהרה ייפער עוד חור, ועוד חור, ועוד חור...

ברטראנד ראסל (1970-1872) התייחס לאותם מתמטיקאים אידיאליסטיים כאשר כתב, בשנת 1907, את הדברים האלה:

התגלית כי המתמטיקה כולה נובעת באופן בלתי נמנע מאסופה קטנה של חוקים יסודיים היא תגלית אשר מעצימה לאין ערוך את היופי האינטלקטואלי של המתמטיקה בשלמותה; מי שדוכאו על-ידי טִבען המקוטע והבלתי שלם של מרבית שרשראות ההיקש הקיימות, מרגישים כי התגלית הזאת הולמת בהם בעוצמה מכריעה כעוצמתה של התגלוּת: כמו ארמון המגיח מתוך ערפל סתווי בעוד ההֵלך מעפיל על צלע גבעה איטלקית, כך מופיעות קומותיו הנאות של הבניין המתמטי על-פי הסדר והפרופורציות הראויים, המתאפיינים בשלמוּת חדשה בכל חלק וחלק.

אני זוכר שכאשר למדתי בקולג', קראתי את מידלמארץ' מאת ג'ורג' אליוט. ריתקה אותי במיוחד דמותו של מר קזובון, שמפעל חייו היה הספר המפתח לכל המיתולוגיות שאותו לא יגמור לעולם. המפתח של מר קזובון נדון להישאר בלתי גמור, העירה המרצה השנונה שלי, בין השאר משום ש"פרויקטים מכלילים" הם מעצם טִבעם פרויקטים המסתעפים עד בלי די; אין להם שום סיכוי לכבוש את ריבוא הפרטים הזעירים המתחייבים ממילים כמו "כל", ממש כפי שאין להם סיכוי לבטא את כל ההכללות אשר הנחותיהם מולידות (במקרה הזה, התפיסה שלכל המיתולוגיות יש מפתח יחיד). ייתכן כי המרצה שלי הצהירה הצהרה מתמטית בלא יודעין - היא עמדה הן על קיומו של האינסוף והן על קיומו של הקטן-לאין-סוף (האינפיניטסימלי) - והתנגדותה לפרויקט המפתח של מר קזובון תקֵפה גם לניסיונותיהם של מתמטיקאים לבסס את המפתח לכל המתמטיקה.

חִשבו לדוגמה על הפרויקט שלא נכתב מעולם, הפרויקט אשר ג"ו לייבניץ (Leibniz, 1716-1646) חלם עליו בסוף המאה השבע-עשרה: ליצור שפה מתמטית מיוחדת שבאמצעותה יוכל ליצור מעין אנציקלופדיה שתכלול את כל הידע האנושי. השפה תהיה מורכבת מסמלים מתמטיים שאפשר יהיה לטַפלֵל אותם, כלומר, לבצע בהם מניפולציות באמצעות חוקי ההיקש. לייבניץ כינה את התוכנית הזאת calculus ratiocinator. "אם יתעוררו מחלוקות," כתב ראסל (כשלייבניץ מדבר מגרונו), "לא יהיה עוד צורך במחלוקת בין שני פילוסופים, כשם שאין מחלוקת בין שני רואי חשבון. די יהיה בכך שהשניים ייטלו את עטיהם, יתיישבו ליד שולחנות הכתיבה שלהם ויאמרו זה לזה (בנוכחות חבר המשמש כעד, אם כך ירצו), 'הבה נחשב'."

"התוכנית הכבירה" של לייבניץ אמנם נדונה לכישלון, אך לכל הפחות הִצמיחה את תחום הלוגיקה הסימבולית, אשר פותח ברבות השנים על-ידי ג'ורג' בּוּל (1864-1815) ועל-ידי גוֹטְלוֹבּ פְרֶגֶה (1925-1848). בטרם נהיה פרופסור למתמטיקה בקווינס קולג' בקוֹרק, היה בּוּל מורה בבית הספר, וייתכן שזוהי הסיבה לכך שחיבוריו - ובראשם Mathematical Analysis of Logic (ניתוח מתמטי של הלוגיקה), שפורסם ב-1847 - כמעט שאינם מתאפיינים ברברבנות של לייבניץ; אדרבה, צניעות קוסמת וריחוּק משאיפות גשמיות (שאפשר למצוא גם אצל טיורינג) שורים על עבודתו.

מטרתו העיקרית של בול הייתה לייסד שיטה שתשמש להמרת טענות לוגיות למשוואות. לפיכך, אף שהשתמש בדוגמאות מהעולם האמיתי (דברים לבנים, דברים עם קרניים, כבשים, כבשים לבנות עם קרניים), הקפיד בעצם להדגיש את ההפרדה בין הסמלים שבהם השתמש לבין המצבים שתיארו הסמלים; מקרים שדרשו הנמקה היקשית או קבלת החלטה היקשית הפכו בהינף יד להליכים בסיסיים; בתוך ההליכים האלה, הביטויים האופרטיביים הינם "ו" (ו' החיבור) או "לא" ואילו הכבשים הלבנות והכבשים בעלות הקרניים נהפכות ל-ל' ו-ק'. במערכת שכזאת, כתב בול, "כל תהליך ייצג היקש, כל תוצאה מתמטית תבטא היסק לוגי. כלליותה של השיטה תאפשר לנו לבטא אפילו פעולות שרירותיות של האינטלקט, ולהמחיש בכך את המשפטים הכלליים של המתמטיקה הרגילה."

פרגה קידם את הרעיונות של בול שלב אחד קדימה, לא רק בכך שהעלה את רמת המורכבוּת שלהם, אלא בכך שהשתמש בהם כדי להניח את יסודות הלוגיציזם; התזה העיקרית של הלוגיציזם היא "שאריתמטיקה היא ענף של הלוגיקה ואיננה צריכה להסתמך על הוכחות כלשהן מתחומי הניסיון או האינטואיציה." בספרו Begriffsschrift, שראה אור בשנת 1879, ביקש פרגה לייסד "על-פי המודל האריתמטי, שפה פורמלית אשר נועדה לחשיבה טהורה." באמצעות שפה כזאת, אפשר לזקק את הסיפורים על הדברים שבעולם - קומקומי תה, מכוניות, כלבים, מלכות רעות, תפוחים, קל וחומר הכבשים הלבנות והכבשים בעלות הקרניים של בול - לכדי מחרוזות המורכבות מסמלים שמשמעותם חסרת חשיבות לחלוטין.

פרגה סיפק גם הגדרה מחמירה להוכחה מתמטית שאיש לא ערער עליה עדיין, ובספרו Die Grundlagen der Arithmetik (יסודות האריתמטיקה) משנת 1884 התמודד עם השאלה מה הם באמת מספרים מוֹנים והגדיר כל מספר n בתור מחלקה או קבוצה הכוללת את כל האוספים שיש בהם n איברים: "7", לדוגמה, יוגדר כקבוצת כל האוספים המונים שבעה איברים, כל האוספים כולם החל בשבעת הגמדים, דרך שבע גבעותיה של רומא וכלה בשבע האותיות במילה "האותיות". במערכת כזאת, כפי שהסביר ראסל מאוחר יותר, "מספר מסוים איננו זהה לאוסף מונחים כלשהו בעל אותו מספר: המספר 3 איננו זהה לשלישייה הכוללת את בראון, ג'ונס ורובינסון. המספר 3 הוא מעין מכנה משותף של כל השלישיות האלה, המבדיל ביניהן לבין כל שאר האוספים." הגדרה זאת הייתה נוקשה יותר מאלה שקדמו לה, במובן זה שעשתה הבחנה בין האוסף עצמו (בראון, ג'ונס ורובינסון) לבין הקטגוריה שלו (3); היא גם תרמה תרומה ניכרת לקידום מטרתו של פרגה - לנסח תיאוריה אקסיומטית של האריתמטיקה.

הכרך הראשון במפעל חייו של פרגה, Die Grundgesetze der Arithmetik (החוקים הבסיסיים של האריתמטיקה) ראה אור בשנת 1893. ה-Grundlagen לא כלל כל סימבוליקה, וההוכחות בו היו שטחיות בלבד (בניגוד להוכחות האמורות לעמוד באמות המידה המחמירות של פרגה עצמו); ה-Grundgesetze לעומתו שאף להגשים מטרה מסוימת: לנצל את הלוגיקה כדי להניח בסיס מוצק לשימוש במתמטיקה. אך ב-16 ביוני 1902, זמן קצר לפני שהכרך השני עמד לרדת לדפוס, שלח ראסל לפרגה מכתב (בגרמנית); בתחילת המכתב שיבח את Grundgesetze, אך בסופו העיר, "יש רק נקודה אחת שהעמידה בפנַי קושי." ואז מוטט את כל מערך ההנחות של פרגה.

הבעיה הייתה קשורה בעיקרה לרעיון קבוצות של קבוצות. פרגה כבר הגדיר את המספר 7 כַּקבוצה של כל הקבוצות הכוללות שבעה איברים: שבע המידות הרעות, שבע גבעות רומא, שבעת הגמדים וכדומה. אפשר לדמות את הקבוצה הזאת לתיבה הנושאת את התווית "קבוצות המכילות 7 איברים". על תיבה אחרת תתנוסס התווית "קבוצות המכילות מספר איברים זוגי", ועל אחרת יהיה כתוב פשוט "זוגות". קבוצות מסוימות תוכלנה להיות איברים של עצמן, וחלקן לא תוכלנה. קחו לדוגמה את קבוצת כל הכלבים; טוֹלוֹ, הפוקס-טֶרייר שלי, הוא איבר בה. האם הקבוצה הזאת היא איבר של עצמה? לא: כהגדרתו של ראסל, המין האנושי איננו בן אנוש אחד, ולפיכך "כל הכלבים" אינם כלב מסוים. אולם קבוצות אחרות - לדוגמה, הקבוצה המורכבת מן "הדברים שאינם כלב" - הן כן איברים של עצמן, מאחר שה"דבר שאיננו כלב", יהיה אשר יהיה, איננו טולו וגם לא שום כלב אחר, באופן חד-משמעי. בדומה לכך "הקבוצה המכילה את כל הקבוצות המכילות מספרים אינסופיים" היא איבר של עצמה, מאחר שיש לה אינסוף איברים.

כאן צץ ה"קושי". תארו לעצמכם קבוצה שתוויתה היא "קבוצות שאינן איברים של עצמן". האם קבוצה זאת היא איבר של עצמה? אם כן, הרי שמעצם הגדרתה היא אחת מהקבוצות שאינן איברים של עצמן, ובהתאם לכך היא איננה איבר של עצמה. אם לא, הרי שהיא איננה אחת הקבוצות שאינן איברים של עצמן, ובהתאם לכך היא כן איבר של עצמה. הפרדוקס הזה הוא בן דודו של פרדוקס השקרן, וברבות השנים ידבַּק בו הכינוי "הפרדוקס של ראסל" או "האנטינומיה של ראסל".

ראסל אהב להמחיש את הפרדוקס באמצעות סַפָּר פרי דמיונו; הספר מגלח מדי יום ביומו את כל הגברים בעיירה שאינם מתגלחים בעצמם, אך לא מגלח איש מלבדם. אם הספר איננו מגלח את עצמו, הרי שהוא אחד הגברים שאינם מתגלחים בעצמם, ולפיכך הוא חייב לגלח את עצמו. מצד שני, אם הוא כן מתגלח בעצמו, הרי שהוא אחד מהגברים שכן מתגלחים בעצמם, ולפיכך אסור לו לגלח את עצמו.

מכתבו של ראסל היכה את פרגה מכה קשה. הוא מיהר להוסיף לכרך השני של Grundgesetze נספח העוסק בסתירה (או על-פי ניסוחו מבשר הרעות של ראסל - "הסתירה" באותיות של קידוש לבנה). פרגה היה נסער מן הסתם, וב-22 ביוני השיב בזו הלשון:

גילוי הסתירה היה בבחינת הפתעה גמורה מבחינתי, ואפשר כמעט לומר שהיה בבחינת הלם, מאחר שהוא מערער את היסודות שעליהם התכוונתי להשתית את האריתמטיקה. ...חומרתו מתעצמת שבעת מונים מאחר שביטולו של החוק החמישי שלי מעיב לא רק על קיומם של יסודות האריתמטיקה שלי, אלא גם על יסודות האריתמטיקה היחידים אשר יכולים להתקיים.

פרגה וראסל שיתפו פעולה בניסיון לפתור את הפרדוקס או לכל הפחות למצוא דרך למנוע ממנו לטמא את מערכת היסודות שניסו לכונן. אולם במהרה נטש פרגה את שאיפתו זו והפנה את תשומת לבו לפילוסופיה של השפה. ראסל לעומתו השקיע את כל זמנו ומרצו בפתרון הבעיה, ובסופו של דבר מצא דרך עקלקלה למדי לעקוף את הפרדוקס שהוא עצמו ברא. למרבה הצער, האלתורים הסבוכים שנאלץ ראסל לבצע הפכו את שלושת הכרכים של מפעל החיים שלו - Principia Mathematica - לספר מסורבל וקשה לשימוש. Principia Mathematica, אותו כתב ביחד עם אלפרד נורת וַייטהֶד, תיאר מערכת מתמטית מוּצרנת (formalized) המבוססת על קבוצת אקסיומות (טענות כלליות שאמיתותן ברורה מאליה) ועל חוקי ההיסק, מערכת שבאמצעותה אפשר לבטא כל הנמקה מתמטית נכונה.

ובכל זאת, Principia Mathematica הוכיח את עצמו; אדרבה, הוא הוכיח את עצמו עד כדי כך, ש-PM - שמו המקובל של הספר - היה שדה הניסוי שבו פעלו קורט גדלל ואחריו אלן טיורינג, כאשר נענו לאתגר שהציב המתמטיקאי הגרמני דוויד הילבֶּרט (Hilbert, 1943-1862) בנאום המפורסם שנשא בשנת 1928, ושבו קרא למצוא הוכחות לשלֵמוּת (completeness), לעקביוּת (consistency) ולכְּריעוּת (decidability) של המתמטיקה. גדל התמודד עם השלמוּת ועם העקביוּת, ואילו טיורינג עם הכריעות. תוצאות עבודתם שינו את המתמטיקה לבלי הכר - ופתחו בפניה אופקים חדשים, שפרגה לא חלם עליהם.

ג.
שאיפתו של הילברט הייתה לכוֹנן ולבסס יסודות למערכות מתמטיות מוצרנות. Principia Mathematica, למרות סרבולו, היה הדוגמה הקלאסית למערכת שכזאת, במובן זה שתבניתו אפשרה להפיק מהאקסיומות ומחוקי ההיסק שלו כל משפט מתמטי אמיתי. אך תוכניתו של הילברט נבדלה מאלה של ראסל ושל פרגה בשתי סוגיות מפתח פילוסופיות. ראשית, הילברט התכחש לדוקטרינה שהארדי כינה "הדוקטרינה הראסלית הקיצונית, על-פיה המתמטיקה כולה היא לוגיקה ואין לה יסודות משל עצמה"; במקום זאת בחר לצדד בקאנט, אשר טען כי "לרשותה של המתמטיקה עומד תוכן חף מכל לוגיקה, ולפיכך הלוגיקה לבדה לא תוכל לעולם לספק לה בסיס מספק." שנית, בעוד ראסל ראה בלוגיקה ובמתמטיקה, במילותיו של הארדי, "מדעים מוחשיים המקנים לנו, בדרך זו או אחרת, מידע בנוגע לצורה ולמבנה של המציאות," וטען כי "למשפטים מתמטיים יש משמעות שאפשר להבינה ישירות, וזה בדיוק מה שחשוב בהם." הילברט דווקא ראה במתמטיקה מערכת מוצרנת, שהסימנים היסודיים בה חפים מכל משמעות. הנחות ומשפטים ייחשבו אפוא למחרוזות של סימנים שאפשר לחברם, לפרקם ולחברם שוב בדרך חדשה פשוט באמצעות יישום קבוצת חוקים קבועים מראש.

הארדי היה ספקן כלפי היתלותו של הילברט בקאנט, והשתעשע על חשבון אמונתו של הילברט ב"סימנים מוחשיים", בזו הלשון: "מוטב שאצהיר מיד על מה שנראה לי כהתנגדות קטלנית להשקפה זאת. אם יחבר הילברט את מתמטיקת הילברט באמצעות סדרת סימנים מסוימת על דף מסוים, ואם אבוא אני ואעתיק את הסימנים הללו לדף אחר, האם ההעתקה תהיה בבחינת יצירת מתמטיקה חדשה? ברור שמדובר באותה מתמטיקה, אפילו כותב הוא בעיפרון ואני בדיו, אפילו סימניו שחורים ושלי אדומים..." מבחינתו של הארדי, האקסיומות של המתמטיקה הפורמליסטית משולות "לכלי השחמט, למחבט, לכדור וליתדות העץ של משחק הקריקט, לחומרים שבהם אנחנו משחקים... הרמן וֵייל ממחיש זאת באמצעות משחק שחמט.

האקסיומות משולות למקומם הנתון של הכלים; הליך ההוכחה משול לחוקי התנועה של הכלים; והנוסחאות הניתנות להוכחה משולות לכל המקומות האפשריים שיכולים הכלים לתפוס במשחק." אך למשחק אין משמעות במובן זה שלמלך אין ממלכה, למלכה אין מאהב, ולחיילים אין חלקות אדמה לעבדן; "חלק מהותי בלוגיקה של הילברט הוא זה: יהיו אשר יהיו נוסחאות המערכת שהועלו, ה'משמעות' שהעלתה אותן חייבת לשכון בשלמותה מחוץ למערכת, כך שה'משמעות' של נוסחה חייבת להישכח בו ברגע שנכתבה הנוסחה."

למרות התנגדויותיו של הארדי, המתמטיקה הפורמליסטית אפשרה להילברט לצעוד צעד חשוב קדימה. כפי שאפשר לדוּן במשחק שחמט מסוים ולנתחו, אפשר גם להצהיר הצהרות ודעות כלליות על שחמט. הילברט הוכיח שעל-פי אותה לוגיקה, אפשר לטעון טענות על מערכת מוצרנת (גם אם היא חסרת משמעות). הילברט הגדיר טענות אלה כמשתייכות לקטגוריית ה"מטא-מתמטיקה". לפיכך (נשאל דוגמה מכתביהם של ארנסט נאגֶל וג'ון ר' ניומן), 2 + 3 = 5 הוא ביטוי מתמטי. אך הטענה "2 + 3 = 5 היא נוסחה אריתמטית" משתייכת לקטגוריית המֶטא-מתמטיקה "מפני שהיא קובעת כי מחרוזת מסוימת של סימנים מתמטיים היא נוסחה."

בדומה לכך, הטענה "כל מערכת מתמטית מוצרנת היא שלמה, עקבית וכְריעה" משתייכת לקטגוריית המֶטא-מתמטיקה. כשהילברט אומר שלֵמה, הוא מתכוון שבמסגרת המערכת, אפשר להוכיח פורמלית כל טענה אמיתית ולהפריך פורמלית כל טענה שקרית. כשהילברט אומר עקבית, הוא מתכוון שבמסגרת המערכת, הליך הוכחה תקף לעולם לא יפיק טענות חסרות תוקף כגון 2 + 2 = 5 או 1 = 0. ולבסוף, כשהילברט אומר כריעה, הוא מתכוון כי אפשר להמחיש שקיימת בתוך המערכת "מתודה מוחלטת" שבאמצעותה קובעים אם הטענות השונות אמיתיות או שקריות. לשאלה האחרונה נהוג היה לקרוא בשמה הגרמני המקורי: Entscheidungsproblem או "בעיית ההכרעה".

אמונתו של הילברט בטענות הייתה כה איתנה, עד שבנאום שנשא בבּולוניה בשנת 1928, יצא בקריאה פומבית למצוא להן הוכחות והיה משוכנע שקריאתו תניב תוצאות חיוביות. כבר בשנת 1900, בנאום מפורסם שנשא בפאריס, הכריז הילברט כי "האמונה בפְּתירוּת של כל הבעיות המתמטיות היא תמריץ חזק לשוקד עליהן. בכולנו נשמעת הקריאה הנצחית: יש בעיה. חפש את פתרונה. תוכל למצוא אותו באמצעות ההיגיון הצרוף, משום שבמתמטיקה אין איגְנוֹרַבּימוּס." בנאום שנאם בשנת 1930 לרגל קבלת אזרחות כבוד של עיר הולדתו קניגסברג, הרחיק לכת והוסיף התחייבות בזו הלשון "בעיה בלתי פתירה - אין דבר כזה." בנאום הזה, לאחר שזלזל שוב ב"איגנורבימוס המטופש", טבע הילברט את קריאת העידוד המפורסמת שלו: "Wir m?ssen wissen, Wir werden wissen" ("אנחנו חייבים לדעת, אנחנו עוד נדע").

בעתות שלום התקיימה ועידת המתמטיקאים הבינלאומית אחת לארבע שנים. אולם בגלל מלחמת העולם הראשונה, לא התקיימה ועידה בשנת 1916, ומשום שגם אחרי המלחמה המשיך לשרור כעס רב על הלאומנות הגרמנית, נמנעו המארגנים במופגן מלהזמין משלחת גרמנית לוועידות שהתקיימו בשנים 1920 ו-1924. המארגנים האיטלקיים של הוועידה שהתקיימה בשנת 1928 דווקא הזמינו את הגרמנים. אולם הפעם, המתמטיקאי לודוויג ביבּרבך (1982-1886) בשיתוף עם לא"י בּראואר (1966-1881) יזמו חרם במטרה למחות על הדרתה של גרמניה מן הוועידות הקודמות וגם למחות באופן כללי על חוזה ורסאי. הילברט לא תמך בחרם והשיב למכתבו רחב-התפוצה של ביברבך בזו הלשון, "אנו משוכנעים כי צידוד בדרכו של הֶר ביברבך ימיט אסון על המדע הגרמני ויחשוף את כולנו לביקורת מוצדקת של ידידים... בנסיבות הנוכחיות, היושר והנימוס הבסיסיים מצווים עלינו לנקוט גישה חיובית כלפי הוועידה." בסופו של דבר עמד הילברט עצמו בראש משלחת בת שישים ושבעה מתמטיקאים שיצאה לבולוניה, ובנאומו שם הבליט את עמדתו הפציפיסטית:

אל לנו לשכוח כי אנו, המתמטיקאים, עומדים בפסגת הטיפוח של המדעים המדויקים. אין לנו ברירה אלא לתפוס את העמדה הנישאת הזאת משום שכל הגבולות, ובראשם הגבולות הלאומיים, מנוגדים לאופייה של המתמטיקה. הצגת הבדלים בין עמים וגזעים משקפת חוסר הבנה מוחלט של המדע שלנו, והסיבות לעשות כן קלושות ביותר.

המתמטיקה איננה מכירה בגזעים... מבחינתה של המתמטיקה, כל העולם התרבותי הוא מדינה אחת ויחידה.

לדעתו של הילברט, יש הקבלה הדוקה בין פציפיזם לבין פורמליזם. הבדלים גזעיים ולאומיים הם רק "משמעויות מרומזות" שיש לשחרר מהן את הסימנים כדי להשכין שלום ולשמור עליו לאורך זמן. הנוף חסַר הגבולות שתיאר בנאומו מזכיר את תיאורו של ראסל: הבניין המתמטי "המגיח מערפל סתווי בעוד ההֵלך מעפיל על צלע גבעה איטלקית," ממלכה אידילית שלא טומאה בחלוּקות ומחלוקות פוליטיות. לרוע המזל, שנים ספורות לאחר מכן, ידווח מברלין שליח העיתון Times הלונדוני על פגישה של מתמטיקאים שנערכה

באוניברסיטת ברלין כדי לבחון את מקום המדע שלהם ברייך השלישי. בפגישה הוצהר כי המתמטיקה הגרמנית תישאר המתמטיקה של "האדם הפָאוּסטי", כי הלוגיקה לבדה איננה נחשבת בסיס מספק לה, וכי האינטואיציה הגרמָאנית, אשר הגתה את מושגי האינסוף, נעלה על פני הכלים הלוגיים שתרמו לעניין הצרפתים והאיטלקים. מתמטיקה היא מדע הירואי המשליט סדר בכאוס. הנאציונל-סוציאליזם לקח על עצמו משימה דומה ומצריך סגולות דומות. ולכן נוסד "הקשר הרוחני" בינם לבין הסדר החדש - בזכות מזיגה של לוגיקה ואינטואיציה.

גם הארדי הבחין בהבדלים הלאומיים השוררים במתמטיקה, ובמאמרו הספקני למדי על תיאוריית ההוכחות ההילברטית כתב, "בימים אלה אני מתעניין בעיקר באסכולה הפורמליסטית, ראשית, מפני שככל הנראה האינסטינקט הטבעי של מתמטיקאים (כאשר זה איננו סותר תשוקות עזות יותר) הוא להיות פורמליסטים ככל שיוכלו, ושנית, מפני שאני משוכנע שבאנגליה מוקדשת לפורמליזם תשומת לב מועטה מדי..." הפְּרגמטיזם הבריטי הוליד חוסר אמון טבעי בפורמליזם הגרמני, שסתמיותו המצמררת קסמה למכונת התעמולה של הרייך השלישי לא פחות מכפי שקסמה להילברט ולחלומותיו על עולם ללא גבולות.

ואכן, תוכניתו של הילברט מצטיירת כניסיון להשתמש במתמטיקה כדי לבלום את הסיוט הממשמש ובא; בדומה לכך שמיטת הקרקע מתחת לתוכנית, כפי שכבר עשה קורט גדל, מצטיירת הן כצלצול פעמוני המוות המבשרים את מותו של האידיאליזם הטרום-מלחמתי והן כתחילתו של עידן משובש ועקוב מדם שהדימויים החולשים עליו יהיו כאוס ולילה, ולא סדר ובוקר. הילברט, בדומה לפרגה ולראסל לפניו, קיווה שיצליח להשליט אחת ולתמיד ביטחון בארץ המתמטיקה (ובאמצעותו להשליט ביטחון באירופה): להוכיח כי חייבת להתקיים הוכחה כלשהי, במקום כלשהו, לאמיתוּת או לשקריוּת של כל קביעה מתמטית - לרבות קביעות שנותרו ללא הוכחה שנים רבות, כגון השערת גוֹלדבָּך הגורסת בפשטות כי כל מספר זוגי הגדול מ-2 הוא סכום של שני מספרים ראשוניים.

ולא מדובר בסתם הוכחה; ההפך הוא הנכון. פֶּן יטען סרבן זה או אחר מפאתי המתמטיקה כי לא כך הדבר, חייבת להיות הוכחה "מוחלטת" לעצם קיומה של ניתנוּת-להוכחה, כלומר הוכחה הנסמכת על עקרונות היסק מעטים ככל האפשר ושאיננה נסמכת על עקביותה של קבוצת אקסיומות אחרות, אליבא דהילברט. רק הוכחה מוחלטת יכולה להבטיח תיאור מתמטי שאיננו נגוע בסתירות נסתרות כגון פרדוקס ראסל. כבר בהרצאה שנשא על האינסופי ועל עבודתו המהפכנית של גיאורג קאנטור (1918-1845), דיבר הילברט על הסתירות המופיעות במתמטיקה "בתחילה באקראי, ואחר כך באופן חמור ומאיים," ואשר הולכות ומצטברות להן,

הבה נודה כי מבחינת הפרדוקסים, מצבנו הנוכחי הוא בלתי נסבל בטווח הארוך. חִשבו על כך: במתמטיקה, שהיא התגלמות מושלמת של מהימנות ואמת, דווקא התפיסות וההיסקים, כפי שכולם לומדים, מלמדים ומשתמשים בהם, מובילים לאבסורדים. והיכן נמצא את המהימנות והאמת אם אפילו החשיבה המתמטית מכזיבה אותנו?

אך הילברט סירב להודות בתבוסה. אדרבה, הוא התעקש כי חייבת להיות

דרך מספקת לחלוטין להימלט מן הפרדוקסים בלי לבגוד במדע שלנו... נחקור בזהירות את הדרכים לגיבוש תפיסות ואת אופני ההיסק הנושאים פירות; נטפח אותם, נתמוך בהם ונשמיש אותם כל אימת שנגלה הבטחה להצלחה, ולוּ הזעירה ביותר. איש לא יוכל להניס אותנו מאותו גן-עדן שקאנטור יצר למעננו.

הוכחה מוחלטת כי המתמטיקה "סגורה הרמטית" תחסל לעד את הסיכוי שאדם וחווה המתמטיים יגורשו מגן עדן.

לנוכח חיסולה המסתמן של תוכניתו של הילברט, קל וחומר לנוכח חיסולה המסתמן של אירופה, מצטיירת התוכנית כאידיאליסטית ביותר, אפילו אפלטונית. הרי בלִבה עומדת ההנחה כי אפילו הוכחות שעדיין לא נתגלו קיימות בכל זאת "היכן שהוא"; הספק מסולק ודעתו של המתמטיקאי נחה, שהרי מובטח לו שאם ישקיע די זמן ודי עבודה, יצליח להטיל את פלצורו על צווארה של החיה האורבת בשממה המטאפיזית. התוכנית הייתה הביטוי המושלם לנחישותו של הילברט להרעיף על מתמטיקאים צעירים ממנו את הרצון לגלות גילויים, מאחר שביקשה לסלק מן החתירה המתמטית לגילויים כל סיבה לייאוש ואפילו לאי-ודאות.

בתור תחליף, הציעה התוכנית מוצא מכל מבוך. "אנחנו חייבים לדעת, אנחנו עוד נדע": ייתכן אמנם כי החד-קרן איננו קיים, אך היכן שהוא בעולם חייבת להיות ראיה כלשהי שתכריע אם החד-קרן קיים או שאיננו קיים. ואם הוא קיים, תוכל אותה ראיה להוכיח את קיומו בדרך מוחלטת כלשהי. אך עצם הדימוי שבחר הילברט מעיד על חרדה, ולוּ קלושה. הרי בעולם היהודי-נוצרי, גן עדן הוא זמני מטבעו. מה שאלוהים נותן, אלוהים יכול גם לקחת. עצם אזכורו של "גן עדן" מרמז כי הילברט משלים - באופן תת-מודע - עם הידיעה כי גם אם גן עדן הוא אינסופי, שהותנו בו היא דווקא סופית בהחלט. משום שבין העצים אורב הנחש. בדמות הפרדוקס.

ד.
בשלושת הסעיפים - שלמות, עקביות וכריעות - התבררה טעותו של הילברט. בשנת 1931 פרסם המתמטיקאי האוסטרי הצעיר קורט גדל (1978-1906) מאמר שכותרתו "On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems" ("על טענות לא כריעות פורמלית בפרינקיפיה מתמטיקה ובמערכות נלוות") ובו סיפק הוכחה חותכת כי המתמטיקה המוכרת לנו איננה יכולה להוכיח את שלמותה שלה או את עקביותה שלה. למרבה האירוניה, גדל פרסם את ממצאיו לראשונה בשנת 1930, בקניגסברג - יום אחד לפני שדוויד הילברט קיבל את אזרחות הכבוד של העיר ונשא את נאומו המפורסם.

שיטתו של גדל הייתה מבריקה. בראש ובראשונה, הוא הציג מערכת שאפשרה לבטא נוסחאות, משפטים וסדרות אריתמטיים בצורת מספרים. ראשית, כתב את הסמלים הבסיסיים של האריתמטיקה - את האלף-בית שלה - והקצה מספר לכל סמל (את הסמל "לא" ייצג המספר 1, את הסמל "או" ייצג המספר 2 וכן הלאה). בדומה לכך, הקצה מספרים לסימנים הבסיסיים המשמשים לפיסוק, לחילוק ולכפל (את הסוגֵר השמאלי ייצג המספר 8, את סימן הכפל ייצג המספר 12 וכן הלאה). לבסוף הקצה מספרים לשלושת סוגי המשתנים: משתנים מִספרִיים, שאפשר להחליפם במספרים ובביטויים מספריים; משתנים פְּסוקיים שאפשר להחליפם בנוסחאות; ומשתנים פְּרֶדיקַטיים שאפשר להחליפם בפרדיקטים. באמצעות המערכת הזאת הראה גדל כי אפשר לבטא במספרים כל פסוק אריתמטי. לדוגמה, המשפט 1 + 1 = 2, ייכתב ראשית כול בצורה שלהלן:

s 0 + s 0 = s s 0

s משמעותו במקרה הזה, "העוקב המיידי של".
את הסימנים האלה כותבים מחדש באמצעות מקביליהם המספריים:

s 0 + s 0 = s s 0

7 6 11 7 6 5 7 7 6

מספרים ראשוניים עוקבים מעלים בחזקת כל אחד מהמספרים לעיל ויוכפלו זה בזה:

2⁷ × 3⁶ × 5¹¹ × 7⁷ × 11⁶ × 13⁵ × 17⁷ × 19⁷ × 23⁶ = ?

יש להודות כי המכפלה היא מספר כה אדיר, עד שאי-אפשר לחשבו. אולם הרעיון החשוב הוא זה: המשפט היסודי של האריתמטיקה קובע כי את המספר הזה אפשר לפרק בדרך אחת בלבד: לגורמים הראשוניים שפורטו לעיל; מספר זה מייצג קידוד ייחודי למשוואה מסוימת. אם נצטייד אפוא במספר המסתורי, נצטרך אך ורק לחשב ולפרק אותו ליחידותיו הבְּדידוֹת ואותן נוכל לתרגם למשוואה 1 + 1 = 2. עבודת הפרך הכרוכה בחישוב איננה משנה בעצם, מאחר שגדל לא התכוון להציע דפוס עבודה, אלא מסגרת תיאורטית כדי להמחיש כי מבחינה עקרונית, אכן קיים אמצעי לתרגם פסוקים אריתמטיים למספרי גדל, ולתרגם את מספרי גדל בחזרה לפסוקים אריתמטיים. נכון שדרוש מחשב כדי לבצע את החישובים. אף כי גדל לא ציפה למחשב - לכל הפחות לא באופן מודע - חלקים גדולים מעבודתו בישרו את המצאתו.

אך המערכת שפיתח גדל אפשרה לו לא רק לקדד טענות מתמטיות כמספרים, אלא גם להמציא דרך לבטא פסוקים מֶטא-מתמטיים על מערכת פורמלית בתוך המערכת עצמה. במילים אחרות, גדל המציא אמצעי שיאפשר לו לא רק לנסח מחדש פסוקים כגון

והריהו המשפט המכריע: "נוסחה G, שמספר גדל שלה הוא g, קובעת כי יש נוסחה עם מספר גדל g שאיננה ניתנת להוכחה במסגרת Principia Mathematica או באחת מהמערכות הנלוות." נשמע לכם מוכר? לכל הפרדוקסים יש אותו צליל חלול. גדל בעצם הציג נוסחה המצהירה על עצמה כי היא בלתי ניתנת להוכחה. אם נכונה הנוסחה, הרי שהיא בלתי ניתנת להוכחה. אם היא ניתנת להוכחה, הרי שהיא לא נכונה. אך במערכת מתמטית שלמה, כל טענה הנטענת באמצעות המערכת הזאת חייבת להיות ניתנת להוכחה או להפרכה, ואילו במערכת מתמטית עקבית, טענה שקרית אמורה להיות בלתי ניתנת להוכחה וטענה אמיתית אמורה להיות בלתי ניתנת להפרכה.

ובדיוק את שני הדברים האלה עשה גדל. במילים אחרות, אם Principia Mathematica והמערכות הקשורות אליה - כל המערכות הקשורות, כלומר בעצם המתמטיקה כולה - הינה מערכת עקבית, הרי שהיא איננה מסוגלת להיות שלמה. ואף שאפשר עקרונית להוסיף אקסיומות כדי להפוך את המערכת לעקבית, עקביותה של המערכת החדשה והחזקה יותר תישאר בלתי מוכחת במסגרת אותה המערכת. ואכן, אפשר להמשיך להוסיף אקסיומה אחר אקסיומה - אינסוף אקסיומות - שכל אחת מהן מחזקת את המערכת; אך עקביותה של כל מערכת חדשה תישאר בלתי ניתנת להוכחה בתוך אותה מערכת.

גדל הוכיח למעשה כי טענות יכולות להיות נכונות ובה בעת בלתי ניתנוֹת להוכחה אפילו בשיטות החובקות את מלוא ההיקף של המתמטיקה הרגילה. משמעות הדבר היא שכל קביעה מתמטית יכולה להיות נכונה, אך אינה בהכרח ניתנת להוכחה. לדוגמה, כאשר גדל פרסם את המשפט שלו, השערת גולדבך כבר הייתה קיימת 190 שנה ועדיין לא הוכחה. מתמטיקאים שתרו אחר פתרונות לבעיות בלתי פתורות אלה ואחרות איבדו בבת-אחת את הביטחון כי האוצרות שהם מחפשים אמנם קיימים. המילים "אמת" ו"הוכחה" לא ייחשבו עוד לעולם למילים נרדפות מבחינה מתמטית - וזאת הייתה מכה קשה לתוכנית של הילברט.

כצפוי, תגובתו הראשונית של הילברט למאמר של גדל הייתה כעס רב. הביוגרפית שלו, קונסטאנס רייד, כתבה בזו הלשון:

מבחינה אינטלקטואלית, ראה הילברט במאמרו המתוחכם ביותר של גדל הוכחה לכך... שאי-אפשר להגשים את המטרה שהקדיש לה מאמצים כה רבים מאז תחילת המאה. ...ביטחון חסר גבולות בעוצמת המחשבה האנושית הוא שהוביל אותו אל העבודה הגדולה האחרונה בקריירה שלו והוא שכמעט מנע ממנו להשלים מבחינה רגשית עם התוצאה שגדל הגיע אליה. ייתכן כי נוספה לכך הסלידה האנושית למדי מן העובדה שהתגלית של גדל איששה למעשה סימנים מסוימים שהילברט עצמו סירב עד אז להכיר בחשיבותם, כי מסגרת הפורמליזם איננה חסונה דייה כדי לשאת בעול שהוא ביקש להעמיס עליה.

אולם הילברט הסתגל די במהרה והשתדל להתמודד עם העולם החדש שאת שעריו פתח בפניו גדל, אולי משום שהתעודד מהערצתו של גדל לעבודתו (של הילברט) כמו גם מההכרה "כי את תורת ההוכחות אפשר לפתח באופן נושא פירות גם בלי לדבוק בתוכנית המקורית."

ובאשר לגדל, השפעת עבודתו ניכרה לאורך זמן רב. ההוכחה אמנם הותירה תקווה כי תתגלה מתודה כלשהי שתוכיח מבחוץ את עקביותה של Principia Mathematica, אך טרפה כל תקווה כי אפשר יהיה לכתוב הוכחה כזאת באמצעות האקסיומות והכללים של Principia Mathematica. עם זאת, ברור היה כי טענותיה של Principia Mathematica לאבסולטיוּת בטלות ומבוטלות. גדל שֹם קץ לעידן הפרויקט המכליל, לעידן המאמץ בנוסח קזובון לספק מפתח לכל המתמטיקה, ומשנת 1931 ואילך לא ניסה איש לכתוב ספר הנושא כותרת חובקת-כול כמו Principia Mathematica.

בשנת 1944 כתב גדל על הכרך עב הכרס מאת וייטהד וראסל בזו הלשון, "כיצד ניתן לצפות שאפשר יהיה לפתור בעיות מתמטיות באופן שיטתי אך ורק באמצעות ניתוח של המושגים העולים מהן, אם בשלב זה לא די בניתוח שלנו אפילו כדי לכונן את האקסיומות?" צפוי היה שיסיים בזאת. אך למרבה ההפתעה, הוא ממשיך וכותב,

אין צורך לאבד תקווה. לייבניץ, בכתביו על ה-Characteristica universalis, לא מדבר על פרויקט אוטופי; אם נאמין לדבריו, הוא פיתח את תחשיב ההנמקה (calculus of reasoning) במלואו כמעט, אך משהה את הפרסום עד אשר יתרשם כי הזרע ייטמן בקרקע פורייה.

גדל מצטט את טענתו של לייבניץ כי בתוך חמש שנים, "יהיה לאנושות מכשיר חדש שיגביר את כוח ההיגיון וההנמקה הרבה יותר מכפי שמכשיר אופטי כלשהו שיפר אי-פעם את כוח הראייה."

האם עלינו להתייחס ברצינות לשיר ההלל הנוסטלגי הקושר כתרים לפנטזיה העתיקה של לייבניץ? הרי גדל עצמו, יותר מכל אדם אחר, הוכיח כי חוסר האפשרות היסודי לקיומה של הפנטזיה הוא חוק. ייתכן כי החלום שהתחלף בסיוט - הנוף הנקוב כִּכְברה שתפס את מקומה של צלע הגבעה האיטלקית הנאה של ראסל - היה קשה מנשוא. בשלהי חייו לקה גדל בהתקפים הולכים ומחמירים של מחלת נפש, שבאו לידי ביטוי בפחד מוות מפני מקררים ומפני רדיאטורים; הוא גם פיתח, בדומה לטיורינג, חיבה מופרזת לסרט שלגייה ושבעת הגמדים בגרסת דיסני. אופן מותו הלם קריירה שהייתה מושתתת על התעמקות בפרדוקסים: הוא השתכנע כי זרים מסתוריים מנסים להרעיל אותו, סירב לאכול וגווע ברעב.

אך הוכחותיו האריכו חיים והשפעתן על תחום המתמטיקה העיונית הייתה עמוקה לא פחות מהשפעת תורת היחסות של איינשטיין על חקר הפיזיקה. בטרם כתב את מאמרו, התייחסו המתמטיקאים אל הפרדוקסים הלוגיים כאל חורים בנוף אשר איתנותו היסודית נראתה להם מובנת מאליה. אנומליוֹת כאלה, הם האמינו, אפשר למלא או לעקוף. אך מאמרו של גדל הוכיח כי הנוף הוא מטבעו בלתי יציב. מתחת לפני הקרקע נמתחים קווי שבר. הודות לגדל, גורשה המתמטיקה מגן עדן, והמתמטיקאים נאלצו לקבוע את משכנם בשטח חדש, שבמקרה הטוב היה בלתי מסביר פנים, ובמקרה הרע היה ממש עוין.

כך לפחות סבר הדור הוותיק. בעיני מתמטיקאים צעירים יותר, מאמרו של גדל פתח צוהר לגישה חופשית ואינטואיטיבית יותר כלפי התחום, אף שסתם לנצח את הגולל על חלומות מכלילים. המאמר אמנם הוכיח כי אי-אפשר להוכיח את עקביותן של האקסיומות, אולם כפי שמעיר סיימון סינג,

לא נובע מכך בהכרח שהן [האקסיומות] אינן עקביות. מתמטיקאים רבים מאמינים בלבם שהמתמטיקה שלהם היא קונסיסטנטית [עקבית], אבל בשׂכלם הם יודעים שאין ביכולתם להוכיח זאת. שנים רבות אחרי כן, יאמר התיאורטיקן הגדול של תורת המספרים אנדרה וייל (Weil): "אלוהים קיים, שכן המתמטיקה קונסיסטנטית, והשטן קיים, שכן איננו יכולים להוכיח זאת."

טיורינג ודאי היה נבהל אילו גילה כי השאלה שהעסיקה אותו היא כה תיאולוגית.

© כל הזכויות שמורות לאריה ניר הוצאה לאור

האיש שידע יותר מדי - אלן טיורינג והמצאת המחשב - דיוויד לוויט
The Man Who Knew Too Much: Alan Turing and the Invention of the Computer - David Leavitt